Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(2,7) e \vec{v}= ( 0,1 ). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}= (-1,-3) e [\vec{v}]_{\beta}=(1,1), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -4\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -2\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para encontrar \vec{b}_{2}:
  • A base \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} de \mathbb{R}^{2}.
  • \vec{u}=(2,7).
  • \vec{v}=(0,1).
  • As coordenadas de \vec{u} na base \beta são [\vec{u}]_{\beta}=(-1,-3).
  • As coordenadas de \vec{v} na base \beta são [\vec{v}]_{\beta}=(1,1).
Pergunta: qual é \vec{b}_{2}? (As alternativas mostram apenas a segunda componente; precisamos identificar essa componente e, se possível, a vetor completo.)

Passo 2

Entendendo o que significam as coordenadas na base \beta: se [\vec{w}]_{\beta}=(\alpha,\beta), isso significa que
\vec{w}=\alpha\,\vec{b}_{1}+\beta\,\vec{b}_{2}.
Aplicando ao caso dado:
  • Como [\vec{u}]_{\beta}=(-1,-3), temos
\vec{u}=-1\cdot\vec{b}_{1}-3\cdot\vec{b}_{2}.
  • Como [\vec{v}]_{\beta}=(1,1), temos
\vec{v}=1\cdot\vec{b}_{1}+1\cdot\vec{b}_{2}=\vec{b}_{1}+\vec{b}_{2}.
Isso é só interpretação: coordenadas são os coeficientes na combinação linear das vetores da base.

Passo 3

Substituímos os vetores \vec{u} e \vec{v} nas equações acima, usando as suas coordenadas cartesianas fornecidas:
-\,\vec{b}_{1}-3\,\vec{b}_{2}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]7\end{pmatrix}, \qquad \vec{b}_{1}+\vec{b}_{2}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Para facilitar, multiplico a primeira equação por -1:
\vec{b}_{1}+3\,\vec{b}_{2}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-7\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora vou eliminar \vec{b}_{1} subtraindo a equação \vec{b}_{1}+\vec{b}_{2}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} da equação \vec{b}_{1}+3\vec{b}_{2}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-7\end{pmatrix}:
(\vec{b}_{1}+3\vec{b}_{2})-(\vec{b}_{1}+\vec{b}_{2})= \begin{pmatrix}-2\\[4pt]-7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
No lado esquerdo \vec{b}_{1} cancela e sobra 2\vec{b}_{2}. No lado direito fazemos a subtração coordenada a coordenada:
2\vec{b}_{2}=\begin{pmatrix}-2-0\\[4pt]-7-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-8\end{pmatrix}.]

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 2 (ou seja, multiplicando por \tfrac{1}{2}) obtemos \vec{b}_{2}:
\vec{b}_{2}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
Explicando o que fizemos: dividir por 2 significa dividir cada componente por 2: -2/2=-1 e -8/2=-4.]

Passo 6

Como verificação (importante na prova para ter confiança): a partir de \vec{b}_{2}=\begin{pmatrix}-1\\\ -4\end{pmatrix} e da equação \vec{b}_{1}+\vec{b}_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} obtemos
\vec{b}_{1}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Então confira \vec{u}=-\vec{b}_{1}-3\vec{b}_{2}:
-\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\[4pt]12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]7\end{pmatrix},
que é exatamente \vec{u}. Também \vec{b}_{1}+\vec{b}_{2}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}=\vec{v}. Tudo consistente.]

Resposta

(A) \begin{pmatrix}-1\\[4pt]-4\end{pmatrix}]

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