Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(2,7) e \vec{v}= ( 0,1 ). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}= (-1,-3) e [\vec{v}]_{\beta}=(1,1), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -4\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -2\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 3\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede para encontrar \vec{b}_{2}:
A base \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} de \mathbb{R}^{2}.
\vec{u}=(2,7).
\vec{v}=(0,1).
As coordenadas de \vec{u} na base \beta são [\vec{u}]_{\beta}=(-1,-3).
As coordenadas de \vec{v} na base \beta são [\vec{v}]_{\beta}=(1,1).
Pergunta: qual é \vec{b}_{2}? (As alternativas mostram apenas a segunda componente; precisamos identificar essa componente e, se possível, a vetor completo.)
Passo 2
Entendendo o que significam as coordenadas na base \beta: se [\vec{w}]_{\beta}=(\alpha,\beta), isso significa que
Explicando o que fizemos: dividir por 2 significa dividir cada componente por 2: -2/2=-1 e -8/2=-4.]
Passo 6
Como verificação (importante na prova para ter confiança): a partir de \vec{b}_{2}=\begin{pmatrix}-1\\\ -4\end{pmatrix} e da equação \vec{b}_{1}+\vec{b}_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} obtemos