Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(2,3)=(2,-1,-1) e T(1,2)=(3,2,1).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{21} da matriz A vale:
(A) -8
(B) -7
(C) -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e as imagens de dois vetores:
T(2,3)=(2,-1,-1)
T(1,2)=(3,2,1)
A tarefa é determinar a matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
e, em particular, encontrar o valor da entrada \;a_{21} (segunda linha, primeira coluna) da matriz A. Todas as informações fornecidas acima são relevantes.

Passo 2

Conceito importante (breve aula): para uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 existe uma matriz A de tamanho 3\times2 cujas colunas são as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^2. Ou seja, se
\mathbf{e}_1=(1,0),\qquad \mathbf{e}_2=(0,1),
e definimos
\mathbf{c}_1=T(\mathbf{e}_1)=\begin{pmatrix}a_{11}\a_{21}\a_{31}\end{pmatrix},\qquad \mathbf{c}_2=T(\mathbf{e}_2)=\begin{pmatrix}a_{12}\a_{22}\a_{32}\end{pmatrix},
então, para qualquer (x,y),
T(x,y)=x\,\mathbf{c}_1+y\,\mathbf{c}_2
e a matriz A é
A=\begin{pmatrix}\mathbf{c}_1 & \mathbf{c}_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\\[4pt] a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}.
Explicando com calma: cada coluna da matriz A é o resultado de aplicar T a um dos vetores da base \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_2. Por linearidade, conhecer T em dois vetores independentes (como (2,3) e (1,2)) permite recuperar essas colunas.]

Passo 3

Usando linearidade, escrevemos as duas igualdades dadas em termos de \mathbf{c}_1 e \mathbf{c}_2:
T(2,3)=2\mathbf{c}_1+3\mathbf{c}_2=(2,-1,-1),
T(1,2)=1\mathbf{c}_1+2\mathbf{c}_2=(3,2,1).
Isso gera um sistema de vetores em \mathbb{R}^3 para \mathbf{c}_1 e \mathbf{c}_2.

Passo 4

Vamos isolar \mathbf{c}_2 por eliminação. Multiplico a segunda equação por 2 e subtraio a primeira:
2\bigl(\mathbf{c}_1+2\mathbf{c}_2\bigr)-\bigl(2\mathbf{c}_1+3\mathbf{c}_2\bigr) = (6,4,2)-(2,-1,-1).
No lado esquerdo isso dá 2\mathbf{c}_1+4\mathbf{c}_2-2\mathbf{c}_1-3\mathbf{c}_2=\mathbf{c}_2. No direito, fazemos a subtração componente a componente:
(6,4,2)-(2,-1,-1)=(6-2,\;4-(-1),\;2-(-1))=(4,5,3).
Portanto
\mathbf{c}_2=\begin{pmatrix}4\\\ 5\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 5

Agora encontramos \mathbf{c}_1 usando a segunda equação \mathbf{c}_1+2\mathbf{c}_2=(3,2,1). Isolando \mathbf{c}_1:
\mathbf{c}_1=(3,2,1)-2\mathbf{c}_2.
Substituindo \mathbf{c}_2=(4,5,3):
2\mathbf{c}_2=(8,10,6),
\mathbf{c}_1=(3,2,1)-(8,10,6)=(3-8,\;2-10,\;1-6)=(-5,-8,-5).

Passo 6

Agora escrevemos a matriz A com as colunas \mathbf{c}_1 e \mathbf{c}_2:
A=\begin{pmatrix} -5 & 4\\[4pt] -8 & 5\\[4pt] -5 & 3 \end{pmatrix}.
Aqui a_{21} é a entrada da segunda linha e primeira coluna, ou seja -8. Força aí — você já tem a técnica: transformar dados sobre combinações lineares em um sistema para as colunas da matriz.]

Resposta

(A) -8

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