Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(2,3)=(2,-1,-1) e T(1,2)=(3,2,1).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{21} da matriz A vale:
(A) -8
(B) -7
(C) -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e as imagens de dois vetores:
T(2,3)=(2,-1,-1)
T(1,2)=(3,2,1)
A tarefa é determinar a matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
e, em particular, encontrar o valor da entrada \;a_{21} (segunda linha, primeira coluna) da matriz A. Todas as informações fornecidas acima são relevantes.
Passo 2
Conceito importante (breve aula): para uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 existe uma matriz A de tamanho 3\times2 cujas colunas são as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^2. Ou seja, se
Explicando com calma: cada coluna da matriz A é o resultado de aplicar T a um dos vetores da base \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_2. Por linearidade, conhecer T em dois vetores independentes (como (2,3) e (1,2)) permite recuperar essas colunas.]
Passo 3
Usando linearidade, escrevemos as duas igualdades dadas em termos de \mathbf{c}_1 e \mathbf{c}_2:
T(2,3)=2\mathbf{c}_1+3\mathbf{c}_2=(2,-1,-1),
T(1,2)=1\mathbf{c}_1+2\mathbf{c}_2=(3,2,1).
Isso gera um sistema de vetores em \mathbb{R}^3 para \mathbf{c}_1 e \mathbf{c}_2.
Passo 4
Vamos isolar \mathbf{c}_2 por eliminação. Multiplico a segunda equação por 2 e subtraio a primeira:
No lado esquerdo isso dá 2\mathbf{c}_1+4\mathbf{c}_2-2\mathbf{c}_1-3\mathbf{c}_2=\mathbf{c}_2. No direito, fazemos a subtração componente a componente:
Aqui a_{21} é a entrada da segunda linha e primeira coluna, ou seja -8. Força aí — você já tem a técnica: transformar dados sobre combinações lineares em um sistema para as colunas da matriz.]