Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x+2 y+2 z,-2 x+3 y+3 z,-2 x+3 y+2 z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{13} vale:
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
(F) 4
(G) 5
(H) 6
Passo 1
O enunciado pede a entrada \,b_{13}\, da matriz B que representa a inversa da transformação linear
T(x,y,z)=(-x+2y+2z,\,-2x+3y+3z,\,-2x+3y+2z).
Informações dadas que usaremos: \;T está dada pela aplicação linear acima, ou seja temos os coeficientes das imagens dos vetores canônicos; a matriz B é a inversa da matriz que representa T na base canônica. O que nos perguntam é o elemento da primeira linha e terceira coluna de B, isto é \,b_{13}\,.
Passo 2
Vamos escrever a matriz A que representa T na base canônica. Cada coluna de A contém as imagens de e_1,e_2,e_3 pelas coordenadas dadas. Assim
Fórmula-chave (explicação didática): se B=A^{-1} então A B = I. As colunas de B satisfazem
A\,b^{(j)}=e_j,
onde b^{(j)} é a j-ésima coluna de B e e_j é o j-ésimo vetor canônico. Portanto, para achar \,b_{13}\, (primeira entrada da terceira coluna de B) basta resolver o sistema linear
A v = e_3
e ler a primeira coordenada da solução v. Isso evita calcular a inversa inteira — poupando trabalho na prova.
Passo 4
Escrevendo v=(v_1,v_2,v_3)^T e e_3=(0,0,1)^T, o sistema A v=e_3 dá o seguinte sistema de equações: