Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x+2 y+2 z,-2 x+3 y+3 z,-2 x+3 y+2 z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{13} vale:
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
(F) 4
(G) 5
(H) 6

Passo 1

O enunciado pede a entrada \,b_{13}\, da matriz B que representa a inversa da transformação linear
T(x,y,z)=(-x+2y+2z,\,-2x+3y+3z,\,-2x+3y+2z).
Informações dadas que usaremos:
\;T está dada pela aplicação linear acima, ou seja temos os coeficientes das imagens dos vetores canônicos; a matriz B é a inversa da matriz que representa T na base canônica. O que nos perguntam é o elemento da primeira linha e terceira coluna de B, isto é \,b_{13}\,.

Passo 2

Vamos escrever a matriz A que representa T na base canônica. Cada coluna de A contém as imagens de e_1,e_2,e_3 pelas coordenadas dadas. Assim
A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 2\\[4pt] -2 & 3 & 3\\[4pt] -2 & 3 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Fórmula-chave (explicação didática): se B=A^{-1} então A B = I. As colunas de B satisfazem
A\,b^{(j)}=e_j,
onde b^{(j)} é a j-ésima coluna de B e e_j é o j-ésimo vetor canônico. Portanto, para achar \,b_{13}\, (primeira entrada da terceira coluna de B) basta resolver o sistema linear
A v = e_3
e ler a primeira coordenada da solução v. Isso evita calcular a inversa inteira — poupando trabalho na prova.

Passo 4

Escrevendo v=(v_1,v_2,v_3)^T e e_3=(0,0,1)^T, o sistema A v=e_3 dá o seguinte sistema de equações:
\begin{cases} -1\cdot v_1 + 2\cdot v_2 + 2\cdot v_3 = 0,\\[4pt] -2\cdot v_1 + 3\cdot v_2 + 3\cdot v_3 = 0,\\[4pt] -2\cdot v_1 + 3\cdot v_2 + 2\cdot v_3 = 1. \end{cases}]

Passo 5

Vamos resolver passo a passo.
Subtraindo a terceira equação da segunda obtemos:
(-2v_1+3v_2+3v_3)-(-2v_1+3v_2+2v_3)=0-1
o que simplifica para
v_3 = -1.
Agora substituímos v_3=-1 na primeira equação:
- v_1 + 2v_2 + 2(-1)=0 \quad\Rightarrow\quad -v_1+2v_2-2=0
logo
v_1 = 2v_2 - 2.
Substituímos v_3=-1 e v_1=2v_2-2 na terceira equação original:
-2v_1 + 3v_2 + 2v_3 = 1.
Fazendo a substituição:
-2(2v_2-2) + 3v_2 + 2(-1) = 1.
Simplificando:
-4v_2 +4 +3v_2 -2 = 1 \quad\Rightarrow\quad -v_2 +2 = 1.
Logo
v_2 = 1.
Com v_2=1 voltamos em v_1=2v_2-2:
v_1 = 2\cdot 1 - 2 = 0.

Passo 6

Concluímos que a terceira coluna de B=A^{-1} é
v=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\\[4pt]v_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Portanto a entrada pedida é \,b_{13}=v_1=0.]

Resposta

(B) 0

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