Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(2,1)=(-1,-2,3) e T(3,2)=(1,1,3).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8

Passo 1

O enunciado pede para determinar a entrada a_{12} da matriz A da transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} tal que T(x,y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
Dados fornecidos:
T(2,1)=(-1,-2,3)
T(3,2)=(1,1,3)
As opções são (A) a (H) com valores numéricos; precisamos escolher a opção correta.

Passo 2

Vamos representar as colunas de A. Seja
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\\[4pt] a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}.
Pela interpretação de transformações lineares, a primeira coluna é \;T(1,0)\; e a segunda coluna é \;T(0,1). Denotemos
\mathbf{a}=T(1,0)=\begin{pmatrix}a_1\a_2\a_3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=T(0,1)=\begin{pmatrix}b_1\b_2\b_3\end{pmatrix},
onde a_i são as entradas da primeira coluna e b_i as da segunda coluna. Assim
A=\begin{pmatrix}\mathbf{a} & \mathbf{b}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Usando linearidade, as imagens dadas fornecem o sistema vetorial
2\mathbf{a}+\mathbf{b}= \begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 3\end{pmatrix}, \qquad 3\mathbf{a}+2\mathbf{b}= \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix}.
Para eliminar e achar \mathbf{a} e \mathbf{b}, subtraímos a primeira equação da segunda:
(3\mathbf{a}+2\mathbf{b})-(2\mathbf{a}+\mathbf{b})=\mathbf{a}+\mathbf{b} =\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 3\end{pmatrix}.
Portanto
\mathbf{a}+\mathbf{b}=\begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Agora obtemos \mathbf{a} isolando-a: da primeira equação 2\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{v} com \mathbf{v}=\begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 3\end{pmatrix}, e sabendo \mathbf{a}+\mathbf{b}=\begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}, subtraímos as duas equações:
(2\mathbf{a}+\mathbf{b})-(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\mathbf{a}= \mathbf{v}-\begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}.
Calculando componente a componente,
\mathbf{a}= \begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3\\\ -5\\\ 3\end{pmatrix}.
(Outra forma rápida: \mathbf{a}=2\mathbf{v}-\mathbf{w}, onde \mathbf{w}=(1,1,3), dá o mesmo resultado.)

Passo 5

Com \mathbf{a} conhecido, encontramos \mathbf{b} usando \mathbf{a}+\mathbf{b}=\begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}:
\mathbf{b}=\begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\\ -5\\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\\\ 8\\\ -3\end{pmatrix}.
Portanto a segunda coluna de A é \mathbf{b}=(5,8,-3)^{T}. A entrada a_{12} é a primeira componente da segunda coluna, ou seja a_{12}=5.

Passo 6

Podemos escrever explicitamente a matriz A como
A=\begin{pmatrix} -3 & 5\\[4pt] -5 & 8\\[4pt] 3 & -3 \end{pmatrix},
e confirmar que 2\mathbf{a}+\mathbf{b}=(-1,-2,3) e 3\mathbf{a}+2\mathbf{b}=(1,1,3), checagem rápida que confirma a solução.]

Resposta

(E)

Exercícios relacionados