Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (x-2 y-z,-2 x+5 y+3 z, x+2 z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{31} vale:
(A) -8
(B) -7
(C) -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1

Passo 1

Enunciado: a transformação linear é T(x,y,z)= (x-2y-z,\,-2x+5y+3z,\,x+2z). A tarefa é determinar a matriz B que representa a inversa de T e informar o valor de b_{31} (entrada da linha 3, coluna 1) entre as opções dadas. Dados relevantes:
T(1,0,0)=(1,-2,1),\qquad T(0,1,0)=(-2,5,0),\qquad T(0,0,1)=(-1,3,2).
Nada mais é pedido além de encontrar a entrada b_{31} da matriz inversa.

Passo 2

Vamos escrever a matriz A que representa T na base canônica. A convenção usada é multiplicar A pelo vetor coluna (x,y,z)^\top para obter T(x,y,z). As colunas de A são as imagens dos vetores da base canônica:
A=\begin{pmatrix} T(1,0,0) & T(0,1,0) & T(0,0,1)\end{pmatrix}.

Passo 3

Substituindo os vetores obtidos no Passo 1, obtemos
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1\\[4pt] -2 & 5 & 3\\[4pt] 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Estratégia para inverter: vou calcular \det(A) e a matriz adjunta (adjugate). Lembre que a inversa, quando existe, é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz de cofatores. Primeiro calculemos \det(A).

Passo 5

Calcule o determinante usando expansão pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}5&3\\[4pt]0&2\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}-2&3\\[4pt]1&2\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}-2&5\\[4pt]1&0\end{pmatrix}.
Agora cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}5&3\\[4pt]0&2\end{pmatrix}=5\cdot2-3\cdot0=10,
\det\begin{pmatrix}-2&3\\[4pt]1&2\end{pmatrix}=(-2)\cdot2-3\cdot1=-4-3=-7,
\det\begin{pmatrix}-2&5\\[4pt]1&0\end{pmatrix}=(-2)\cdot0-5\cdot1=-5.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot10 -(-2)\cdot(-7) +(-1)\cdot(-5)=10 - 14 +5 =1.
Importante: \det(A)=1\neq0, logo A é invertível e A^{-1}=\operatorname{adj}(A) porque o determinante é 1.]

Passo 6

Definições úteis (explicação didática):
  • O menor M_{ij} é o determinante da submatriz obtida ao retirar a linha i e a coluna j.
  • O cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
  • A matriz dos cofatores C=(C_{ij}) e a adjunta é \operatorname{adj}(A)=C^\top.
    Como \det(A)=1, teremos A^{-1}=\operatorname{adj}(A).

Passo 7

Calcule os menores e cofatores linha a linha.
Para i=1:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}5&3\\[4pt]0&2\end{pmatrix}=10,\qquad C_{11}=+10.
M_{12}=\det\begin{pmatrix}-2&3\\[4pt]1&2\end{pmatrix}=-7,\qquad C_{12}=(-1)^{1+2}(-7) = -(-7)=7.
M_{13}=\det\begin{pmatrix}-2&5\\[4pt]1&0\end{pmatrix}=-5,\qquad C_{13}=+(-5)=-5.]

Passo 8

Para i=2:
M_{21}=\det\begin{pmatrix}-2&-1\\[4pt]0&2\end{pmatrix}=(-2)\cdot2-(-1)\cdot0=-4,\qquad C_{21}=(-1)^{2+1}(-4) = -(-4)=4.
M_{22}=\det\begin{pmatrix}1&-1\\[4pt]1&2\end{pmatrix}=1\cdot2-(-1)\cdot1=2+1=3,\qquad C_{22}=+3.
M_{23}=\det\begin{pmatrix}1&-2\\[4pt]1&0\end{pmatrix}=1\cdot0-(-2)\cdot1=0+2=2,\qquad C_{23}=(-1)^{2+3}2=-2.]

Passo 9

Para i=3:
M_{31}=\det\begin{pmatrix}-2&-1\\[4pt]5&3\end{pmatrix}=(-2)\cdot3-(-1)\cdot5=-6+5=-1,\qquad C_{31}=(-1)^{3+1}(-1)=-1.
M_{32}=\det\begin{pmatrix}1&-1\\[4pt]-2&3\end{pmatrix}=1\cdot3-(-1)\cdot(-2)=3-2=1,\qquad C_{32}=(-1)^{3+2}1=-1.
M_{33}=\det\begin{pmatrix}1&-2\\[4pt]-2&5\end{pmatrix}=1\cdot5-(-2)\cdot(-2)=5-4=1,\qquad C_{33}=+1.]

Passo 10

Monte a matriz dos cofatores C:
C=\begin{pmatrix} 10 & 7 & -5\\[4pt] 4 & 3 & -2\\[4pt] -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
A adjunta é a transposta:
\operatorname{adj}(A)=C^\top=\begin{pmatrix} 10 & 4 & -1\\[4pt] 7 & 3 & -1\\[4pt] -5 & -2 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 11

Como \det(A)=1, temos A^{-1}=\operatorname{adj}(A). Logo
B=A^{-1}=\begin{pmatrix} 10 & 4 & -1\\[4pt] 7 & 3 & -1\\[4pt] -5 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
A entrada pedida é b_{31}, isto é a linha 3, coluna 1 da matriz B. Lendo a matriz acima obtemos b_{31}=-5. Isso corresponde à alternativa (D).]

Resposta

(D) -5

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