Verifique que a matriz A=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ 1 & 4\end{array}\right] é raiz do polinômio matricial P(X)=X^{2}-6 X+5 I_{2}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a matriz A=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\[4pt] 1 & 4\end{array}\right] é raiz do polinômio matricial P(X)=X^{2}-6X+5I_{2}.
Informações dadas que usaremos: a própria matriz A e o polinômio P. A verificação consiste em calcular P(A)=A^{2}-6A+5I_{2} e mostrar que o resultado é a matriz nula \left[\begin{smallmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right].]

Passo 2

O que significa avaliar um polinômio matricial em A?
Se tivermos um polinômio Q(X)=a_k X^k+\cdots+a_1 X+a_0 I, então Q(A)=a_k A^k+\cdots+a_1 A+a_0 I.
Aqui as potências de A são multiplicações de matrizes normais, e I é a matriz identidade do mesmo tamanho. No nosso caso, P(A)=A^{2}-6A+5I_{2}. Então precisamos calcular três matrizes: A^{2}, 6A e 5I_{2}, e depois somá-las com os sinais apropriados.

Passo 3

Vamos calcular A^{2}=A\cdot A. Relembre como multiplicar matrizes 2\times2: o elemento da linha i e coluna j de A^{2} é a soma produto da linha i de A com a coluna j de A. A matriz A tem entradas em TeX:
A=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix}.
Calcule entrada a entrada:
  • Primeiro elemento, posição (1,1):
(A^{2})_{11}=2\cdot 2 + 3\cdot 1 = 4 + 3 = 7.
  • Elemento (1,2):
(A^{2})_{12}=2\cdot 3 + 3\cdot 4 = 6 + 12 = 18.
  • Elemento (2,1):
(A^{2})_{21}=1\cdot 2 + 4\cdot 1 = 2 + 4 = 6.
  • Elemento (2,2):
(A^{2})_{22}=1\cdot 3 + 4\cdot 4 = 3 + 16 = 19.
Portanto
A^{2}=\begin{pmatrix}7 & 18\\[4pt]6 & 19\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos 6A, que é só multiplicação escalar: multiplicamos cada entrada de A por 6. Assim,
6A=6\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\cdot 2 & 6\cdot 3\\[4pt]6\cdot 1 & 6\cdot 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12 & 18\\[4pt]6 & 24\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculamos 5I_{2}. A matriz identidade I_{2} é
I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
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5I_{2}=5\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora juntamos tudo: P(A)=A^{2}-6A+5I_{2}. Substituindo as matrizes que calculamos:
P(A)=\begin{pmatrix}7 & 18\\[4pt]6 & 19\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}12 & 18\\[4pt]6 & 24\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}.
Vamos fazer as subtrações/somas entrada a entrada:
  • Posição (1,1):
7 - 12 + 5 = (7-12)+5 = -5+5 = 0.
  • Posição (1,2):
18 - 18 + 0 = 0.
  • Posição (2,1):
6 - 6 + 0 = 0.
  • Posição (2,2):
19 - 24 + 5 = (19-24)+5 = -5+5 = 0.
Portanto
P(A)=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},
que é a matriz nula 2\times 2.]

Passo 7

Concluímos que P(A)=0_{2}. Isso significa que a matriz A é uma raiz do polinômio matricial P, pois substituir X por A torna o polinômio igual à matriz nula.

Resposta

P(A)=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}]

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