Verifique que a matriz A=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ 1 & 4\end{array}\right] é raiz do polinômio matricial P(X)=X^{2}-6 X+5 I_{2}.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a matriz A=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\[4pt] 1 & 4\end{array}\right] é raiz do polinômio matricial P(X)=X^{2}-6X+5I_{2}.
Informações dadas que usaremos: a própria matriz A e o polinômio P. A verificação consiste em calcular P(A)=A^{2}-6A+5I_{2} e mostrar que o resultado é a matriz nula \left[\begin{smallmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right].]
Passo 2
O que significa avaliar um polinômio matricial em A?
Se tivermos um polinômio Q(X)=a_k X^k+\cdots+a_1 X+a_0 I, então Q(A)=a_k A^k+\cdots+a_1 A+a_0 I.
Aqui as potências de A são multiplicações de matrizes normais, e I é a matriz identidade do mesmo tamanho. No nosso caso, P(A)=A^{2}-6A+5I_{2}. Então precisamos calcular três matrizes: A^{2}, 6A e 5I_{2}, e depois somá-las com os sinais apropriados.
Passo 3
Vamos calcular A^{2}=A\cdot A. Relembre como multiplicar matrizes 2\times2: o elemento da linha i e coluna j de A^{2} é a soma produto da linha i de A com a coluna j de A. A matriz A tem entradas em TeX:
Concluímos que P(A)=0_{2}. Isso significa que a matriz A é uma raiz do polinômio matricial P, pois substituir X por A torna o polinômio igual à matriz nula.