O que o problema pede é: determinar a dimensão da imagem de T (ou seja, \dim(\operatorname{Im} T)).
Informações relevantes dadas: as três coordenadas da imagem são combinações lineares das variáveis x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}, portanto T tem representação matricial A de dimensão 3\times4 cujas colunas são as imagens dos vetores canônicos de \mathbb{R}^4.
Passo 2
Conceito importante (explicando devagar): a imagem de uma aplicação linear T é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como T(v). Quando representamos T por uma matriz A (em bases canônicas), a imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A — chamamos isso de espaço coluna (column space). A dimensão da imagem de T é exatamente o posto (rank) da matriz A, ou seja, o número de colunas linearmente independentes (ou equivalentemente o número de pivôs na forma escalonada por linhas). Então nosso objetivo prático é montar a matriz de T e calcular seu posto.
Passo 3
Vamos escrever a matriz A de T na base canônica. Cada coluna é a imagem de um vetor canônico (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1). Lendo os coeficientes do enunciado, temos:
Agora elimino a entrada da segunda linha na segunda coluna usando a terceira linha ou vice-versa. Subtraio R_3 de R_2: R_2 \leftarrow R_2 - R_3. Calculando:
onde eu permutei as linhas para deixar os pivôs em posição escalonada (a ordem das linhas não altera o posto). Nesta forma já vemos pivôs claros: coluna 1 tem pivô na linha 1, coluna 2 tem pivô na linha 2 (pois -3\neq 0), e coluna 3 tem pivô na linha 3 (pois 1\neq 0). Contagem dos pivôs: há pivôs nas três primeiras colunas (ou, dito de outro modo, três linhas não-nulas na forma escalonada). Portanto \operatorname{rank}(A)=3. Isso significa que as três colunas independentes geram um subespaço de dimensão 3 em \mathbb{R}^3. Como o contradomínio \mathbb{R}^3 tem dimensão 3, a imagem de T é todo \mathbb{R}^3 e sua dimensão é 3. Resumo intuitivo e ânimo: em termos práticos, isso quer dizer que as três coordenadas de saída de T são suficientemente “variáveis” para alcançar qualquer vetor de \mathbb{R}^3 mudando os x_i. Você conseguiu! No enunciado de prova, basta fazer a redução acima e contar os pivôs para justificar a resposta.]