Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}\right.,
\left.-2 x_{1}-x_{2}+4 x_{3}+4 x_{4}, \quad-2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}+2 x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3
definida por
T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\bigl(x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4},\;-2x_{1}-x_{2}+4x_{3}+4x_{4},\;-2x_{1}-x_{2}+3x_{3}+2x_{4}\bigr).
O que o problema pede é: determinar a dimensão da imagem de T (ou seja, \dim(\operatorname{Im} T)).
Informações relevantes dadas: as três coordenadas da imagem são combinações lineares das variáveis x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}, portanto T tem representação matricial A de dimensão 3\times4 cujas colunas são as imagens dos vetores canônicos de \mathbb{R}^4.

Passo 2

Conceito importante (explicando devagar): a imagem de uma aplicação linear T é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como T(v). Quando representamos T por uma matriz A (em bases canônicas), a imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A — chamamos isso de espaço coluna (column space). A dimensão da imagem de T é exatamente o posto (rank) da matriz A, ou seja, o número de colunas linearmente independentes (ou equivalentemente o número de pivôs na forma escalonada por linhas). Então nosso objetivo prático é montar a matriz de T e calcular seu posto.

Passo 3

Vamos escrever a matriz A de T na base canônica. Cada coluna é a imagem de um vetor canônico (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1). Lendo os coeficientes do enunciado, temos:
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1\\[4pt] -2 & -1 & 4 & 4\\[4pt] -2 & -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
A dimensão da imagem é \operatorname{rank}(A).]

Passo 4

Vamos escalonar A por operações elementares por linhas para contar pivôs. Começo com A:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1\\[4pt] -2 & -1 & 4 & 4\\[4pt] -2 & -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}
Usamos a primeira linha para zerar as entradas abaixo do primeiro pivô. Faço R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1. Calculando:
R_2 + 2R_1 = (-2, -1, 4, 4) + 2(1,-1,-1,-1) = (0, -3, 2, 2),
R_3 + 2R_1 = (-2, -1, 3, 2) + 2(1,-1,-1,-1) = (0, -3, 1, 0).
A matriz vira
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & -3 & 2 & 2\\[4pt] 0 & -3 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora elimino a entrada da segunda linha na segunda coluna usando a terceira linha ou vice-versa. Subtraio R_3 de R_2: R_2 \leftarrow R_2 - R_3. Calculando:
(0,-3,2,2) - (0,-3,1,0) = (0,0,1,2).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & -3 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix},
onde eu permutei as linhas para deixar os pivôs em posição escalonada (a ordem das linhas não altera o posto). Nesta forma já vemos pivôs claros: coluna 1 tem pivô na linha 1, coluna 2 tem pivô na linha 2 (pois -3\neq 0), e coluna 3 tem pivô na linha 3 (pois 1\neq 0). Contagem dos pivôs: há pivôs nas três primeiras colunas (ou, dito de outro modo, três linhas não-nulas na forma escalonada). Portanto \operatorname{rank}(A)=3. Isso significa que as três colunas independentes geram um subespaço de dimensão 3 em \mathbb{R}^3. Como o contradomínio \mathbb{R}^3 tem dimensão 3, a imagem de T é todo \mathbb{R}^3 e sua dimensão é 3. Resumo intuitivo e ânimo: em termos práticos, isso quer dizer que as três coordenadas de saída de T são suficientemente “variáveis” para alcançar qualquer vetor de \mathbb{R}^3 mudando os x_i. Você conseguiu! No enunciado de prova, basta fazer a redução acima e contar os pivôs para justificar a resposta.]

Resposta

(D) 3

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