Se convença de que o produto de matrizes diagonais é bem mais simples de ser calculado. Sendo D=\operatorname{diag}(1,0,2,6,7), calcule D^{3}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz diagonal D=\operatorname{diag}(1,0,2,6,7) e pede para calcular D^{3}.\n
Informações relevantes:
  • D é uma matriz diagonal de ordem 5 cujos elementos da diagonal principal são, em ordem, 1,0,2,6,7.
  • A operação pedida é elevar D à potência 3, ou seja, multiplicar D por si mesma três vezes: D^{3}=D\cdot D\cdot D.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): o que é uma matriz diagonal e por que potências ficam fáceis.\n
Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Escrevemos, para uma matriz diagonal genérica de ordem n,
D=\operatorname{diag}(d_{1},d_{2},\dots,d_{n}),
onde d_{i} é o elemento na linha i e coluna i. Isso significa que o elemento geral D_{ij} vale D_{ij}=0 se i\neq j e D_{ii}=d_{i}.

Passo 3

Propriedade chave e por que vale: produto de diagonais e potências.\n
Se D=\operatorname{diag}(d_{1},\dots,d_{n}) e E=\operatorname{diag}(e_{1},\dots,e_{n}) são matrizes diagonais da mesma ordem, então o produto F=D E também é diagonal, com
F=\operatorname{diag}(d_{1}e_{1},d_{2}e_{2},\dots,d_{n}e_{n}).
Razão (intuição passo a passo): o elemento (i,j) do produto F é \sum_{k=1}^{n} D_{ik}E_{kj}. Se i\neq j, todas as somas envolvem pelo menos um fator fora da diagonal (zero), logo o somatório dá 0. Se i=j, o único termo não-nulo na soma é quando k=i, dando D_{ii}E_{ii}=d_{i}e_{i}. Portanto só quedan os produtos dos correspondentes da diagonal.\n
Aplicando isso repetidamente, para potências inteiras positivas temos
D^{k}=\operatorname{diag}\bigl(d_{1}^{k},d_{2}^{k},\dots,d_{n}^{k}\bigr).
Ou seja: elevar a matriz diagonal a uma potência é só elevar cada entrada diagonal àquela potência.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao caso concreto.\n
Temos D=\operatorname{diag}(1,0,2,6,7). Pelas observações anteriores,
D^{3}=\operatorname{diag}\bigl(1^{3},0^{3},2^{3},6^{3},7^{3}\bigr).
Agora calculamos cada potência escalar:
1^{3}=1,\qquad 0^{3}=0,\qquad 2^{3}=8,\qquad 6^{3}=6\cdot6\cdot6=36\cdot6=216,\qquad 7^{3}=7\cdot7\cdot7=49\cdot7=343.

Passo 5

Escrevendo a matriz resultado explicitamente.\n
D^{3}=\operatorname{diag}(1,0,8,216,343)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 8 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 216 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 343 \end{pmatrix}.]

Resposta

\operatorname{diag}(1,0,8,216,343)

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