Se convença de que o produto de matrizes diagonais é bem mais simples de ser calculado. Sendo
, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a matriz diagonal
e pede para calcular
.\n
Informações relevantes:
Informações relevantes:
-
é uma matriz diagonal de ordem cujos elementos da diagonal principal são, em ordem, . - A operação pedida é elevar
à potência , ou seja, multiplicar por si mesma três vezes: .
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): o que é uma matriz diagonal e por que potências ficam fáceis.\n
Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Escrevemos, para uma matriz diagonal genérica de ordem ,
Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Escrevemos, para uma matriz diagonal genérica de ordem
onde
é o elemento na linha
e coluna
. Isso significa que o elemento geral
vale
se
e
.
Passo 3
Propriedade chave e por que vale: produto de diagonais e potências.\n
Se e
são matrizes diagonais da mesma ordem, então o produto
também é diagonal, com
Se
Razão (intuição passo a passo): o elemento
do produto
é
. Se
, todas as somas envolvem pelo menos um fator fora da diagonal (zero), logo o somatório dá
. Se
, o único termo não-nulo na soma é quando
, dando
. Portanto só quedan os produtos dos correspondentes da diagonal.\n
Aplicando isso repetidamente, para potências inteiras positivas temos
Aplicando isso repetidamente, para potências inteiras positivas temos
Ou seja: elevar a matriz diagonal a uma potência é só elevar cada entrada diagonal àquela potência.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao caso concreto.\n
Temos . Pelas observações anteriores,
Temos
Agora calculamos cada potência escalar:
Passo 5
Escrevendo a matriz resultado explicitamente.\n