Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x+2 y-z, x-y-z, 2 x-2 y-3 z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{31} vale:
(A) -6
(B) -5
(C) -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1
(G) 0
(H) 1
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(-x+2y-z,\; x-y-z,\; 2x-2y-3z),
e pede para determinar a matriz B que representa a inversa de T. Especificamente, quer-se o valor da entrada b_{31} (linha 3, coluna 1) da matriz B. São dadas as alternativas (A) a (H).
Informações relevantes fornecidas:
T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}\quad\text{com }A\text{ desconhecida (a representar \(T\) na base canônica).}
O objetivo final: encontrar b_{31}, a entrada (3,1) de B=A^{-1}.
Passo 2
Vamos escrever a matriz A que representa T na base canônica. Cada coordenada da imagem é uma combinação linear de x,y,z; os coeficientes formam as linhas de A. Assim:
Explicação didática: quando T(x,y,z)=(a_1x+b_1y+c_1z,\; a_2x+b_2y+c_2z,\; a_3x+b_3y+c_3z), a matriz que multiplica \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} tem como primeira linha (a_1,b_1,c_1), segunda linha (a_2,b_2,c_2) e terceira linha (a_3,b_3,c_3). Aqui aplicamos isso diretamente ao enunciado.]
Passo 3
Escolhemos o método da adjunta (adjugate) para calcular A^{-1}. Fórmula principal: se \det(A)\neq0,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz de cofatores. Vou calcular primeiro \det(A). Para uma matriz 3\times3 com primeira linha (a_{11},a_{12},a_{13}) a expansão pela primeira linha é
\det(A)=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13},
onde M_{ij} é o determinante do menor obtido eliminando linha i e coluna j.