Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x+2 y-z, x-y-z, 2 x-2 y-3 z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{31} vale:
(A) -6
(B) -5
(C) -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1
(G) 0
(H) 1

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(-x+2y-z,\; x-y-z,\; 2x-2y-3z),
e pede para determinar a matriz B que representa a inversa de T. Especificamente, quer-se o valor da entrada b_{31} (linha 3, coluna 1) da matriz B. São dadas as alternativas (A) a (H).
Informações relevantes fornecidas:
T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}\quad\text{com }A\text{ desconhecida (a representar \(T\) na base canônica).}
O objetivo final: encontrar b_{31}, a entrada (3,1) de B=A^{-1}.

Passo 2

Vamos escrever a matriz A que representa T na base canônica. Cada coordenada da imagem é uma combinação linear de x,y,z; os coeficientes formam as linhas de A. Assim:
A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1\\[4pt] 1 & -1 & -1\\[4pt] 2 & -2 & -3 \end{pmatrix}.
Explicação didática: quando T(x,y,z)=(a_1x+b_1y+c_1z,\; a_2x+b_2y+c_2z,\; a_3x+b_3y+c_3z), a matriz que multiplica \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} tem como primeira linha (a_1,b_1,c_1), segunda linha (a_2,b_2,c_2) e terceira linha (a_3,b_3,c_3). Aqui aplicamos isso diretamente ao enunciado.]

Passo 3

Escolhemos o método da adjunta (adjugate) para calcular A^{-1}. Fórmula principal: se \det(A)\neq0,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz de cofatores. Vou calcular primeiro \det(A). Para uma matriz 3\times3 com primeira linha (a_{11},a_{12},a_{13}) a expansão pela primeira linha é
\det(A)=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13},
onde M_{ij} é o determinante do menor obtido eliminando linha i e coluna j.
Aplicando à nossa A:
\det(A)=(-1)\cdot M_{11} - 2\cdot M_{12} + (-1)\cdot M_{13}.
Calculemos os menores um a um.

Passo 4

Cálculo dos menores:
  • M_{11} é o determinante da submatriz obtida removendo linha 1 e coluna 1:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\\\ -2 & -3\end{pmatrix}=(-1)(-3)-(-1)(-2)=3-2=1.
  • M_{12} é o determinante da submatriz removendo linha 1 e coluna 2:
M_{12}=\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\\ 2 & -3\end{pmatrix}=1\cdot(-3)-(-1)\cdot2=-3+2=-1.
  • M_{13} é o determinante da submatriz removendo linha 1 e coluna 3:
M_{13}=\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\\ 2 & -2\end{pmatrix}=1\cdot(-2)-(-1)\cdot2=-2+2=0.
Agora substituímos na fórmula da expansão:
\det(A)=(-1)\cdot 1 - 2\cdot(-1) + (-1)\cdot 0 = -1 + 2 + 0 = 1.
Interpretação: \det(A)=1, logo A é invertível e A^{-1}=\operatorname{adj}(A) (pois dividimos por 1).

Passo 5

Agora precisamos do elemento b_{31} de B=A^{-1}. Lembrete sobre cofatores: o cofator C_{ij} é
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
e a adjunta \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz (C_{ij}). Portanto a entrada (i,j) de A^{-1} vale
(A^{-1})_{ij}=\frac{1}{\det(A)}C_{ji}.
No nosso caso, \det(A)=1, assim
b_{31}=(A^{-1})_{31}=C_{13}.
Ou seja, precisamos do cofator C_{13}, que envolve o menor M_{13} que já calculamos.

Passo 6

Cálculo do cofator C_{13}:
C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=(-1)^4\cdot M_{13}=1\cdot M_{13}=M_{13}.
Do Passo 4 temos M_{13}=0. Logo
C_{13}=0
e portanto
b_{31}=0.

Resposta

(G) 0

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