Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz T(1,2)=(-3,3,-1) e T(1,1)=(1,-2,-2). Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]. A entrada a_{21} da matriz A vale:
(A) -11
(C) -9
(E) -7
(G) -5
(4) -10
(D) -8
(F) -6
(H) -4

Passo 1

O enunciado pede para determinar a matriz A tal que T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}, sabendo que
T(1,2)=(-3,3,-1)
e
T(1,1)=(1,-2,-2).
A questão final é: qual é o valor da entrada a_{21} da matriz A? As informações dadas são exatamente os dois vetores imagem acima.

Passo 2

Vamos traduzir o que significa escrever T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}. Para uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, a matriz A tem 2 colunas (uma para cada componente de entrada) e 3 linhas (porque a imagem vive em \mathbb{R}^3). Se escrevemos as colunas de A como
u = T(1,0)=\begin{bmatrix}u_1\u_2\u_3\end{bmatrix} \quad\text{e}\quad v = T(0,1)=\begin{bmatrix}v_1\v_2\v_3\end{bmatrix},
então
A=\begin{bmatrix}u & v\end{bmatrix}
e a ação de T é
T(x,y)=x\,u+y\,v.
Aqui u e v são as colunas da matriz A. Nosso objetivo: achar u e v a partir das duas imagens fornecidas.

Passo 3

Usando a linearidade, as igualdades dadas viram equações em u e v:
T(1,2)=1\cdot u + 2\cdot v = \begin{bmatrix}-3\\\ 3\\\ -1\end{bmatrix},
T(1,1)=1\cdot u + 1\cdot v = \begin{bmatrix}1\\\ -2\\\ -2\end{bmatrix}.
Então temos o sistema vetorial
u+2v=\begin{bmatrix}-3\\\ 3\\\ -1\end{bmatrix}, \qquad u+v=\begin{bmatrix}1\\\ -2\\\ -2\end{bmatrix}.

Passo 4

Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar u (isso é padrão: se u+2v e u+v estão dados, a diferença é v), obtemos
(u+2v)-(u+v)=v=\begin{bmatrix}-3\\\ 3\\\ -1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1\\\ -2\\\ -2\end{bmatrix}.
Agora fazemos a subtração componente a componente:
v=\begin{bmatrix}-3-1\\[4pt]3-(-2)\\[4pt]-1-(-2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4\\[4pt]5\\[4pt]1\end{bmatrix}.
Então já temos a segunda coluna da matriz: v=\begin{bmatrix}-4\\\ 5\\\ 1\end{bmatrix}.]

Passo 5

Para encontrar u, usamos u+v=\begin{bmatrix}1\\\ -2\\\ -2\end{bmatrix}, logo
u=\begin{bmatrix}1\\\ -2\\\ -2\end{bmatrix}-v.
Substituindo v e fazendo a subtração componente a componente:
u=\begin{bmatrix}1\\\ -2\\\ -2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-4\\\ 5\\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1-(-4)\\[4pt]-2-5\\[4pt]-2-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\[4pt]-7\\[4pt]-3\end{bmatrix}.
Portanto a primeira coluna de A é u=\begin{bmatrix}5\\\ -7\\\ -3\end{bmatrix}.]

Passo 6

Agora podemos escrever a matriz A com colunas u e v:
A=\begin{bmatrix}5 & -4\\[4pt]-7 & 5\\[4pt]-3 & 1\end{bmatrix}.
A entrada a_{21} é a entrada da segunda linha e primeira coluna, que é o número -7. Você conseguiu! Isso dá confiança para fazer outros exercícios semelhantes: sempre monte as colunas como T(1,0) e T(0,1) e use combinações lineares dadas para resolver.]

Resposta

(E) -7

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