Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(3,4) e \vec{v}= (2,2). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}= (3,-1) e [\vec{v}]_{\beta}=(4,-2), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 3\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 4\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 5\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 6\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \vec{b}_{2} sabendo que \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} é uma base de \mathbb{R}^{2} e que:
\vec{u}=(3,4),\qquad \vec{v}=(2,2),
e que as coordenadas desses vetores na base \beta são
[\vec{u}]_{\beta}=(3,-1),\qquad [\vec{v}]_{\beta}=(4,-2).
As informações relevantes que temos são, portanto:
\vec{u} \text{ e } \vec{v} \text{ em coordenadas canônicas (cartesianas): } (3,4)\text{ e }(2,2),ô
\text{e suas coordenadas na base } \beta: [\vec{u}]_{\beta}=(3,-1),\; [\vec{v}]_{\beta}=(4,-2).
O objetivo final é identificar qual opção (A)–(H) corresponde a \vec{b}_{2} (cada opção difere apenas na segunda componente).

Passo 2

Entendendo o que significam as coordenadas na base \beta.
Se \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} é uma base, então escrever [\vec{w}]_{\beta}=(\alpha,\beta) significa que
\vec{w}=\alpha\,\vec{b}_{1}+\beta\,\vec{b}_{2}.
Aqui cada letra denota:
\vec{b}_{1} e \vec{b}_{2} são vetores da base (com componentes desconhecidas),
\alpha,\beta são escalares — as coordenadas de \vec{w} na base \beta,
e \vec{w} é o vetor escrito nas coordenadas padrão de \mathbb{R}^2.
Aplicando isso para \vec{u} e \vec{v} com as coordenadas dadas:
[\vec{u}]_{\beta}=(3,-1)\implies \vec{u}=3\vec{b}_{1}-1\vec{b}_{2}=3\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2},
[\vec{v}]_{\beta}=(4,-2)\implies \vec{v}=4\vec{b}_{1}-2\vec{b}_{2}.

Passo 3

Vamos escrever as equações vetoriais explícitas usando \vec{u}=(3,4) e \vec{v}=(2,2).
Das expressões do passo anterior temos o sistema vetorial
3\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2}=\vec{u}=(3,4),
4\vec{b}_{1}-2\vec{b}_{2}=\vec{v}=(2,2).
Para facilitar a notação, posso tratar \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2} como vetores desconhecidos em \mathbb{R}^{2}. Vamos resolver esse sistema por eliminação para achar \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2}.

Passo 4

Isolando \vec{b}_{2} a partir da primeira equação e substituindo na segunda.
Da primeira equação:
\vec{b}_{2}=3\vec{b}_{1}-\vec{u}.
Substituo na segunda:
4\vec{b}_{1}-2(3\vec{b}_{1}-\vec{u})=\vec{v}.
Faço a distribuição do -2:
4\vec{b}_{1}-6\vec{b}_{1}+2\vec{u}=\vec{v}.
Combino os termos em \vec{b}_{1}:
-2\vec{b}_{1}+2\vec{u}=\vec{v}.
Isolo \vec{b}_{1}:
-2\vec{b}_{1}=\vec{v}-2\vec{u}\quad\Longrightarrow\quad \vec{b}_{1}=\frac{2\vec{u}-\vec{v}}{2}.

Passo 5

Calculo numérico de \vec{b}_{1}.
Primeiro calculo 2\vec{u}-\vec{v}:
2\vec{u}-\vec{v}=2(3,4)-(2,2)=(6,8)-(2,2)=(4,6).
Dividindo por 2:
\vec{b}_{1}=\frac{(4,6)}{2}=(2,3).

Passo 6

Com \vec{b}_{1}=(2,3), volto à expressão que deu \vec{b}_{2}:
\vec{b}_{2}=3\vec{b}_{1}-\vec{u}=3(2,3)-(3,4)=(6,9)-(3,4)=(3,5).

Passo 7

Verificação rápida (confere se as coordenadas realmente produzem \vec{u} e \vec{v}).
Calculo 3\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2}=3(2,3)-(3,5)=(6,9)-(3,5)=(3,4)=\vec{u} OK.
Calculo 4\vec{b}_{1}-2\vec{b}_{2}=4(2,3)-2(3,5)=(8,12)-(6,10)=(2,2)=\vec{v} OK.
Agora, entre as opções (A)–(H) aquela cuja segunda componente é 5 é a opção (F).

Resposta

(F) \begin{pmatrix}3\\\ 5\end{pmatrix}

Exercícios relacionados