As informações relevantes que temos são, portanto:
\vec{u} \text{ e } \vec{v} \text{ em coordenadas canônicas (cartesianas): } (3,4)\text{ e }(2,2),ô
\text{e suas coordenadas na base } \beta: [\vec{u}]_{\beta}=(3,-1),\; [\vec{v}]_{\beta}=(4,-2).
O objetivo final é identificar qual opção (A)–(H) corresponde a \vec{b}_{2} (cada opção difere apenas na segunda componente).
Passo 2
Entendendo o que significam as coordenadas na base \beta.
Se \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} é uma base, então escrever [\vec{w}]_{\beta}=(\alpha,\beta) significa que
\vec{w}=\alpha\,\vec{b}_{1}+\beta\,\vec{b}_{2}.
Aqui cada letra denota: \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2} são vetores da base (com componentes desconhecidas), \alpha,\beta são escalares — as coordenadas de \vec{w} na base \beta,
e \vec{w} é o vetor escrito nas coordenadas padrão de \mathbb{R}^2.
Aplicando isso para \vec{u} e \vec{v} com as coordenadas dadas:
Vamos escrever as equações vetoriais explícitas usando \vec{u}=(3,4) e \vec{v}=(2,2).
Das expressões do passo anterior temos o sistema vetorial
3\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2}=\vec{u}=(3,4),
4\vec{b}_{1}-2\vec{b}_{2}=\vec{v}=(2,2).
Para facilitar a notação, posso tratar \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2} como vetores desconhecidos em \mathbb{R}^{2}. Vamos resolver esse sistema por eliminação para achar \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2}.
Passo 4
Isolando \vec{b}_{2} a partir da primeira equação e substituindo na segunda.
Verificação rápida (confere se as coordenadas realmente produzem \vec{u} e \vec{v}).
Calculo 3\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2}=3(2,3)-(3,5)=(6,9)-(3,5)=(3,4)=\vec{u} OK.
Calculo 4\vec{b}_{1}-2\vec{b}_{2}=4(2,3)-2(3,5)=(8,12)-(6,10)=(2,2)=\vec{v} OK.
Agora, entre as opções (A)–(H) aquela cuja segunda componente é 5 é a opção (F).