Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 8 \\\\ -6 \\\\ 4 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 7 \\\\ 6 \\\\ -1 \\\\ 7 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -1 \\\\ -2 \\\\ -1 \\\\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 1 \\\\ -2 \\\\ -3 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ -3 \\\\ -1 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(7,4,-16,-8,-9).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{3} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • Dá uma base ortogonal de \mathbb{R}^{5}:
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r}3 \\[4pt]8 \\[4pt]-6 \\[4pt]4 \\[4pt]-1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-3 \\[4pt]7 \\[4pt]6 \\[4pt]-1 \\[4pt]7\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\[4pt]-1 \\[4pt]-2 \\[4pt]-1 \\[4pt]3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-3 \\[4pt]1 \\[4pt]-2 \\[4pt]-3 \\[4pt]-1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}3 \\[4pt]1 \\[4pt]1 \\[4pt]-3 \\[4pt]-1\end{array}\right]\right\}
  • Dá o vetor \vec{v}=\left(7,4,-16,-8,-9\right).\n
    Pede: seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} na base \beta. Calcular a entrada x_{3} de \vec{x} (ou seja, a coordenada correspondente ao terceiro vetor da base).]

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): se \beta=\{ \vec{b}_{1},\dots,\vec{b}_{n}\} é uma base ortogonal de \mathbb{R}^{n} e \vec{v}=\sum_{i=1}^{n} x_{i}\vec{b}_{i}, então para cada índice j vale
\langle \vec{v},\vec{b}_{j}\rangle = \Big\langle \sum_{i=1}^{n} x_{i}\vec{b}_{i},\vec{b}_{j}\Big\rangle = \sum_{i=1}^{n} x_{i}\langle \vec{b}_{i},\vec{b}_{j}\rangle.
Como a base é ortogonal, \langle \vec{b}_{i},\vec{b}_{j}\rangle=0 sempre que i\neq j. Logo só sobra o termo i=j:
\langle \vec{v},\vec{b}_{j}\rangle = x_{j}\langle \vec{b}_{j},\vec{b}_{j}\rangle.
Isolando x_{j} obtemos a fórmula da coordenada em base ortogonal:
x_{j}=\frac{\langle \vec{v},\vec{b}_{j}\rangle}{\langle \vec{b}_{j},\vec{b}_{j}\rangle}.
Aqui \langle \cdot,\cdot\rangle é o produto interno usual em \mathbb{R}^{5} (produto escalar): para \vec{u}=(u_{1},\dots,u_{5}) e \vec{w}=(w_{1},\dots,w_{5}),
\langle \vec{u},\vec{w}\rangle = u_{1}w_{1}+u_{2}w_{2}+u_{3}w_{3}+u_{4}w_{4}+u_{5}w_{5}.
Resumo prático: para achar x_{3} basta calcular \langle \vec{v},\vec{b}_{3}\rangle e \langle \vec{b}_{3},\vec{b}_{3}\rangle e dividir.

Passo 3

Identificamos o terceiro vetor da base (o \vec{b}_{3} do enunciado):
\vec{b}_{3}=\left[\begin{array}{r}1 \\[4pt]-1 \\[4pt]-2 \\[4pt]-1 \\[4pt]3\end{array}\right].]

Passo 4

Calculamos o numerador \langle \vec{v},\vec{b}_{3}\rangle pelo produto escalar componente a componente:
\langle \vec{v},\vec{b}_{3}\rangle =7\cdot 1 + 4\cdot(-1) + (-16)\cdot(-2) + (-8)\cdot(-1) + (-9)\cdot 3.
Agora a conta passo a passo:
7\cdot 1 = 7,
4\cdot(-1) = -4,
(-16)\cdot(-2) = 32,
(-8)\cdot(-1) = 8,
(-9)\cdot 3 = -27.
Somando tudo:
7 + (-4) + 32 + 8 + (-27) = 7-4+32+8-27 = 16.
Portanto \langle \vec{v},\vec{b}_{3}\rangle = 16.

Passo 5

Calculamos o denominador \langle \vec{b}_{3},\vec{b}_{3}\rangle que é a soma dos quadrados das componentes de \vec{b}_{3}:
\langle \vec{b}_{3},\vec{b}_{3}\rangle =1^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}+(-1)^{2}+3^{2}.
Fazendo as contas:
1^{2}=1,\quad (-1)^{2}=1,\quad (-2)^{2}=4,\quad (-1)^{2}=1,\quad 3^{2}=9.
Somando:
1+1+4+1+9 = 16.
Logo \langle \vec{b}_{3},\vec{b}_{3}\rangle = 16.

Passo 6

Aplicando a fórmula da Passo 2:
x_{3}=\frac{\langle \vec{v},\vec{b}_{3}\rangle}{\langle \vec{b}_{3},\vec{b}_{3}\rangle}=\frac{16}{16}=1.
Portanto a coordenada pedida é 1. Entre as alternativas dadas, corresponde à alternativa (E).

Resposta

(E) 1

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