Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(-2,1,2),(-3,1,4)\} \text { e } \\\ M=\operatorname{span}\{(2,4,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-3, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9

Passo 1

O enunciado dá as informações seguintes:
H=\operatorname{span}\{(-2,1,2),(-3,1,4)\}
M=\operatorname{span}\{(2,4,1)\}
Pede-se: encontrar o único vetor \vec{x}\in M^{\perp}\cap H que tem a forma \vec{x}=(-3,x_{2},x_{3}).
Informações relevantes listadas:
  • Geradores de H: \vec{u}=(-2,1,2) e \vec{v}=(-3,1,4).
  • Gerador de M: \vec{m}=(2,4,1).
  • Condições a satisfazer por \vec{x}:
    1. \vec{x}\in H (logo é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}).
    2. \vec{x}\in M^{\perp} (logo \vec{x} é ortogonal a \vec{m}: \vec{x}\cdot\vec{m}=0).
    3. A primeira componente de \vec{x} é -3: \vec{x}=( -3,x_{2},x_{3}).

Passo 2

Como \vec{x}\in H, existe escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
\vec{x}=a\vec{u}+b\vec{v}.
Escrevendo componente a componente:
\vec{x}=a(-2,1,2)+b(-3,1,4)=(-2a-3b,\;a+b,\;2a+4b).

Passo 3

Usamos a condição da primeira componente igual a -3. Pela expressão acima,
-2a-3b=-3.
Esta é a primeira equação do sistema em a e b.

Passo 4

Usamos a condição de ortogonalidade a \vec{m}=(2,4,1). Lembrete prático: o produto escalar (dot product) de (x_{1},x_{2},x_{3}) com (y_{1},y_{2},y_{3}) é
(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot(y_{1},y_{2},y_{3})=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.
A condição \vec{x}\cdot\vec{m}=0 dá:
2x_{1}+4x_{2}+1\cdot x_{3}=0.
Substituindo as componentes de \vec{x}=(-2a-3b,\;a+b,\;2a+4b) obtemos
2(-2a-3b)+4(a+b)+(2a+4b)=0.
Agora simplificamos termo a termo:
-4a-6b+4a+4b+2a+4b=0.
Agrupando coeficientes de a e b:
( -4a+4a+2a ) + ( -6b+4b+4b )=0 \quad\Rightarrow\quad 2a+2b=0.
Dividindo por 2:
a+b=0.
Esta é a segunda equação do sistema.

Passo 5

Resolvemos o sistema
\begin{cases} -2a-3b=-3,\\[4pt] a+b=0. \end{cases}
Da segunda equação segue a=-b. Substituindo na primeira:
-2(-b)-3b=-3 \quad\Rightarrow\quad 2b-3b=-3 \quad\Rightarrow\quad -b=-3.
Logo
b=3,\qquad a=-3.]

Passo 6

Agora calculamos as componentes restantes de \vec{x} usando a=-3 e b=3:
x_{2}=a+b=-3+3=0,
x_{3}=2a+4b=2(-3)+4(3)=-6+12=6.

Passo 7

Verificação rápida: o vetor obtido é
\vec{x}=(-3,0,6).
Cheque de ortogonalidade com \vec{m}=(2,4,1):
\vec{x}\cdot\vec{m}=2(-3)+4(0)+1(6)=-6+0+6=0,
está ok. Está em H porque veio da combinação a\vec{u}+b\vec{v} com os a,b encontrados. O sistema linear teve solução única, logo o vetor pedido é único.

Resposta

E) 6

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