Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9
Passo 1
O enunciado dá as informações seguintes:
Pede-se: encontrar o único vetor
que tem a forma
.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- Geradores de
: e . - Gerador de
: . - Condições a satisfazer por
: -
(logo é combinação linear de e ). -
(logo é ortogonal a : ). - A primeira componente de
é : .
-
Passo 2
Como
, existe escalares
tais que
Escrevendo componente a componente:
Passo 3
Usamos a condição da primeira componente igual a
. Pela expressão acima,
Esta é a primeira equação do sistema em
e
.
Passo 4
Usamos a condição de ortogonalidade a
. Lembrete prático: o produto escalar (dot product) de
com
é
A condição
dá:
Substituindo as componentes de
obtemos
Agora simplificamos termo a termo:
Agrupando coeficientes de
e
:
Dividindo por
:
Esta é a segunda equação do sistema.
Passo 5
Resolvemos o sistema
Da segunda equação segue
. Substituindo na primeira:
Logo
Passo 6
Agora calculamos as componentes restantes de
usando
e
:
Passo 7
Verificação rápida: o vetor obtido é
Cheque de ortogonalidade com
:
está ok. Está em
porque veio da combinação
com os
encontrados. O sistema linear teve solução única, logo o vetor pedido é único.
Resposta
E)