Considere a transformação linear F: R^3 R^3 que, ao atuar sobre os vetores da base canônica, resultam em
& F(e1)=F(1,0,0)=(-1,2,1) & F(e2)=F(0,1,0)=(0,1,-1) & F(e3)=F(0,0,1)=(1,-1,0)
(a) Calcule F(-e1+2 e2+3 e3)
(b) Calcule F(-1,2,3)
(c) Calcule F(x, y, z)
(d) Obtenha uma base para a imagem de F.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear Fcolon R^3toR^3 cujas imagens da base canônica são
F(e1)=(-1,2,1), F(e2)=(0,1,-1), F(e3)=(1,-1,0)
O conteúdo é o uso da linearidade para calcular imagens de combinações lineares e caracterizar a imagem de F.

Passo 2

Pela linearidade de F, para qualquer (x,y,z)inR^3 vale
F(x,y,z) = x,F(e1) + y,F(e2) + z,F(e3) = x(-1,2,1) + y(0,1,-1) + z(1,-1,0)
Somando coordenadas, obtemos
F(x,y,z) = (-x+z,;2x+y-z,;x-y)

Passo 3

Note que -boldsymbol e1+2boldsymbol e2+3boldsymbol e3 tem coordenadas (-1,2,3). Usando a fórmula do passo 2,
F(-1,2,3) = l(-(-1)+3,;2(-1)+2-3,;-1-2r) = (4,-3,-3)
Isso responde tanto ao item (a) quanto ao item (b).

Passo 4

A imagem de F é
Im(F)=spanF(e1),F(e2),F(e3)
Para ver que F(e1),F(e2),F(e3) é linearmente independente, calculemos o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
det -1 & 0 & 1 2 & 1 & -1 1 & -1 & 0 = -2 neq 0
Logo esses três vetores formam base de Im(F).

Resposta

(a) (4,-3,-3)
(b) (4,-3,-3)
(c) F(x,y,z)=(-x+z,;2x+y-z,;x-y)
(d) Uma base de Im(F) é (-1,2,1),,(0,1,-1),,(1,-1,0).

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