Considere a transformação linear
que, ao atuar sobre os vetores da base canônica, resultam em
(a) Calcule
(b) Calcule
(c) Calcule
(d) Obtenha uma base para a imagem de
.
(b) Calcule
(c) Calcule
(d) Obtenha uma base para a imagem de
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear
cujas imagens da base canônica são
O conteúdo é o uso da linearidade para calcular imagens de combinações lineares e caracterizar a imagem de
.
Passo 2
Pela linearidade de
, para qualquer
vale
Somando coordenadas, obtemos
Passo 3
Note que
tem coordenadas
. Usando a fórmula do passo 2,
Isso responde tanto ao item (a) quanto ao item (b).
Passo 4
A imagem de
é
Para ver que
é linearmente independente, calculemos o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
Logo esses três vetores formam base de
Im(F) .
Resposta
(a)
(4,-3,-3)
(b)(4,-3,-3)
(c) F(x,y,z)=(-x+z,;2x+y-z,;x-y)
(d) Uma base deIm(F) é
(-1,2,1),,(0,1,-1),,(1,-1,0) .
(b)
(c)
(d) Uma base de