Exercício 2
Determinar todas as soluções do sistema de equações em que x e y pertencem a C.
& (1-i) x-i y=0 & 2 x+(1-i) y=0

Passo 1

O enunciado pede todas as soluções do sistema linear homogêneo em C:
(1 - i),x - i,y &= 0, 2,x + (1 - i),y &= 0
Para resolver, vamos usar conceitos de determinante e eliminação em sistemas lineares complexos.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = 1 - i & -,i 2 & 1 - i
e calculamos o determinante
det(A) = (1 - i)^2 - (-i)cdot 2

Passo 3

Expandindo,
(1 - i)^2 = 1 - 2,i + i^2 = 1 - 2,i -1 = -2,i,
então
det(A) = -2,i + 2,i = 0
Como det(A)=0, o sistema tem infinitas soluções não-triviais.

Passo 4

Escolhemos expressar y em função de x usando a segunda equação:
2,x + (1 - i),y = 0 Longrightarrow y = -21 - i,x
Racionalizando o denominador:
21 - i = 2(1 + i)(1 - i)(1 + i) = 2(1 + i)2 = 1 + i,
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y = -l(1 + ir),x

Passo 5

Como x é livre, chamamos x = sinC. Assim
y = -l(1 + ir),s e x = s
Portanto todas as soluções são dados por
(x,y) = l(s,,-(1+i),sr) com sinC

Resposta

l(x,y)inC^2 : (x,y) = (s,,-(1+i),s),;sinCr

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