Considere a transformação linear , que um vetor do a uma matriz coluna . A transformação é dada pela expressão
(a) Onde você já viu essa operação?
(b) Calcule C(1,0,0), C(0,1,0) e C(0,0,1).
(c) Calcule C(2(1,0,0)-(0,1,0)+3(0,0,1)).
(d) Calcule C(2,-1,3).
(e) Calcule C(a+b, c-a, b+c).
(f) Obtenha uma base e a dimensão do núcleo dessa transformação. Ela é injetora?
(g) Obtenha uma base e a dimensão da imagem dessa transformação. Ela é sobrejetora?
(h) Ela é bijetora? Se sim, os espaços R^2 e M3 times 1(R) são isomorfos!
Passo 1
O enunciado define a transformação linear por
e pede:
a) onde já vimos essa operação;
b) calcular em certos vetores;
c) usar linearidade para combinações;
d) avaliar ;
e) avaliar ;
f) núcleo e injetividade;
g) imagem e sobrejetividade;
h) bijeção e isomorfismo.
Passo 2
Essa operação é simplesmente a identificação canônica de um vetor em R^3 com sua forma de matriz coluna 3times1, prática comum em álgebra linear ao representar coordenadas como colunas.
Passo 3
Os vetores (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) são a base canônica de R^3. Logo,
C(1,0,0)=100, C(0,1,0)=010, C(0,0,1)=001
Passo 4
Por linearidade de C, para qualquer combinação alpha v+beta w vale
A imagem de C é o subespaço gerado pelas colunas 100, 010, 001,
isto é todo M3times1(R). Então dim(Im,C)=3 e C é sobrejetora.
Passo 9
Como C é injetora e sobrejetora, ela é bijetora. Portanto existe isomorfismo entre R^3 e M3times1(R).
Resposta
a) É a representação canônica de um vetor em como matriz coluna .
b)
c)
d)
e)
f) , base vazia, , é injetora.
g) , base , , é sobrejetora.
h) é bijetora, logo e são isomorfos.