Exercício 3
Discutir o seguinte sistema linear (em função de a ), isto é, determine os valores de a tais que o sistema não tenha solução, tenha solução única ou tenha infinitas soluções.
x+y-a z=0 a x+y-z=2-a x+a y-z=-a

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
x + y - a,z = 0, a,x + y - z = 2 - a, x + a,y - z = -a
e pede, em função de a, quando o sistema não tem solução, tem solução única ou infinitas soluções. O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Rouché–Capelli: comparar o posto da matriz de coeficientes com o posto da matriz aumentada, e também a condição de determinante não nulo para solução única.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & -a [6pt] a & 1 & -1 [6pt] 1 & a & -1
e calculamos o determinante
det(A) = 1 & 1 & -a [3pt] a & 1 & -1 [3pt] 1 & a & -1
Fazendo a expansão pela primeira linha, obtemos
det(A) =1l(1cdot(-1)-(-1)cdot ar) -1l(acdot(-1)-(-1)cdot1r) -,al(acdot a - 1cdot1r),
det(A) =(-1 + a);-;(-a + 1);-;a,(a^2-1) =-a^3+3a-2 =-(a-1)^2,(a+2) ]

Passo 3

Pelo Teorema de Rouché–Capelli, se det(A)neq0 então o sistema tem solução única. Como
det(A)=0Long<=ftrightarrow a=1 ou a=-2,
concluímos que para
aneq1e aneq-2
o sistema é compatível determinado (solução única).

Passo 4

Agora analisamos os casos det(A)=0.
1. Se a=1, a matriz de coeficientes fica
l[,1;1;-1r] em todas as linhas (posto 1),
mas a matriz aumentada tem constantes distintas (0,1,-1), de modo que o posto da aumentada é 2.
Como posto de A <posto de (A|b), o sistema é incompatível (sem solução).

Passo 5

2. Se a=-2, calcula-se o posto de A e obtém-se posto 2, enquanto a matriz aumentada tem posto 3 (os termos do lado direito não satisfazem a mesma relação linear).
Logo, de novo posto de A <posto de (A|b), e o sistema também é incompatível (sem solução).

Resposta

Para aneq1 e aneq-2 o sistema tem solução única.
Para a=1 ou a=-2 o sistema não tem solução.
Não há valor de a que gere infinitas soluções.

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