Considere a transformação linear G: P2(R) R^3, que leva um polinômio de grau <= 2 a um vetor do R^3. A transformação é dada pela expressão
G(a+b t+c t^2)=(a+b, b-c, c+a)
Sejam B=1, t, t^2 a base canônica de P2(R) e C=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) a base canônica de R^3.
(a) Calcule G(1), G(t), G(t^2), ou seja, G aplicada à base B.
(b) Obtenha as coordenadas de G(1), G(t), G(t^2), em relação à base C.
(c) Escreva a matriz [G]C^B.
(d) Escreva [v]B, a matriz de coordenadas de v=1+t-12 t^2 em relação à base B.
(e) Calcule [G(v)]C=[G]C^B[v]B
(f) Escreva explicitamente o vetor G(v).
(g) Calcule [G(x+2 y t-3 z t^2)]C

Passo 1

O enunciado trata de uma transformação linear
Gcolon P2(R) to R^3,
definida por
G(a + b,t + c,t^2) = (,a + b,;b - c,;c + a,)
Queremos:
a) as imagens de 1,t,t^2;
b) as coordenadas dessas imagens na base canônica de R^3;
c) a matriz de G relativa às bases B=1,t,t^2 e C canônica;
d) as coordenadas de v=1+t-tfrac12 t^2 em B;
e) o produto da matriz de G por essas coordenadas;
f) o vetor G(v) explícito;
g) a imagem de x+2y,t-3z,t^2.

Passo 2

Calcular
G(1), G(t), G(t^2)
Usando a+b,t+c,t^2mapsto(a+b,;b-c,;c+a):
G(1)=G(1+0,t+0,t^2)=(1+0,;0-0,;0+1)=(1,0,1),
G(t)=G(0+1,t+0,t^2)=(0+1,;1-0,;0+0)=(1,1,0),
G(t^2)=G(0+0,t+1,t^2)=(0+0,;0-1,;1+0)=(0,-1,1)

Passo 3

Como C é a base canônica de R^3, as coordenadas de cada imagem são exatamente as próprias tuplas:
[G(1)]C=(1,0,1), [G(t)]C=(1,1,0), [G(t^2)]C=(0,-1,1)

Passo 4

A matriz [G]C^B tem colunas iguais a essas coordenadas, na ordem de B=1,t,t^2:
[G]C^B= 1 & 1 & 0 0 & 1 & -1 1 & 0 & 1

Passo 5

Para v=1+t-tfrac12 t^2, suas coordenadas em B são
[v]B=11-tfrac12

Passo 6

Calculamos

Passo 7

Como a base C é canônica, G(v) é simplesmente
G(v) = l(2,;tfrac32,;tfrac12r)

Passo 8

Para um polinômio genérico x+2y,t-3z,t^2 temos a=x, b=2y, c=-3z. Logo
Gl(x+2y,t-3z,t^2r) =l(a+b,;b-c,;c+ar) =(x+2y,;2y-(-3z),;-3z+x) =(x+2y,;2y+3z,;x-3z)
As coordenadas em C são esse triplo.

Resposta

(a) G(1)=(1,0,1), G(t)=(1,1,0), G(t^2)=(0,-1,1).
(b) [G(1)]C=(1,0,1), [G(t)]C=(1,1,0), [G(t^2)]C=(0,-1,1).
(c) [G]C^B=1&1&00&1&-11&0&1.
(d) [v]B=l(1,1,-tfrac12r)^T.
(e) [G(v)]C=(2,tfrac32,tfrac12)^T.
(f) G(v)=(2,tfrac32,tfrac12).
(g) l[G(x+2y,t-3z,t^2)r]C=(x+2y,;2y+3z,;x-3z).

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