Considere a transformação linear , que leva um polinômio de grau a um vetor do . A transformação é dada pela expressão
Sejam a base canônica de e a base canônica de .
(a) Calcule , ou seja, aplicada à base .
(b) Obtenha as coordenadas de , em relação à base .
(c) Escreva a matriz .
(d) Escreva , a matriz de coordenadas de em relação à base .
(e) Calcule
(f) Escreva explicitamente o vetor .
(g) Calcule
Passo 1
O enunciado trata de uma transformação linear
definida por
Queremos:
a) as imagens de ;
b) as coordenadas dessas imagens na base canônica de ;
c) a matriz de relativa às bases e canônica;
d) as coordenadas de em ;
e) o produto da matriz de por essas coordenadas;
f) o vetor explícito;
g) a imagem de .
Passo 2
Calcular
Usando :
Passo 3
Como é a base canônica de , as coordenadas de cada imagem são exatamente as próprias tuplas:
Passo 4
A matriz tem colunas iguais a essas coordenadas, na ordem de :
Passo 5
Para v=1+t-tfrac12 t^2, suas coordenadas em B são
[v]B=11-tfrac12
Passo 6
Calculamos
Passo 7
Como a base C é canônica, G(v) é simplesmente
G(v) = l(2,;tfrac32,;tfrac12r)
Passo 8
Para um polinômio genérico x+2y,t-3z,t^2 temos a=x, b=2y, c=-3z. Logo