(a) Encontre os autovalores de T.
(b) Determine os autovetores associados a cada autovalor.
(c) Encontre bases para os autoespaços.
(d) Determine uma matriz diagonal D semelhante a A.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz (na base canônica) é
As perguntas são:
(a) Encontrar os autovalores de T.
(b) Determinar os autovetores associados a cada autovalor.
(c) Encontrar bases para os autoespaços (espaços próprios).
(d) Determinar uma matriz diagonal D semelhante a A.
Informações relevantes fornecidas: temos explicitamente a matriz A de dimensão 3\times3. Não há outras restrições; espera-se usar a definição de autovalor/autovetor e calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).]
Passo 2
Vou achar o polinômio característico p(\lambda)=\det(A-\lambda I). Primeiro escrevo A-\lambda I:
Explico o que isso significa: um autovalor \lambda é um número tal que existe vetor não nulo v com Av=\lambda v. A multiplicidade algébrica é a multiplicidade da raiz no polinômio característico; pode haver multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço) menor ou igual a essa multiplicidade algébrica. No nosso caso vou calcular os autoespaços para ver as dimensões geométricas.
Se somarmos as três equações, obtemos ( -2+1+1)x_1 + (1-2+1)x_2 + (1+1-2)x_3 =0\], ou seja, \(0=0 (dependência), mas podemos subtrair equações para ver relações simples. Por exemplo, da primeira e segunda:
Há apenas uma equação independente: x_1+x_2+x_3=0\]. Isso significa que a solução tem dimensão 2 (dois graus de liberdade) — condiz com a multiplicidade algébrica 2 do autovalor \(\lambda=1. Para escrever uma base para esse espaço, escolho dois vetores linearmente independentes que satisfaçam a soma zero. Exemplos simples:
Verifico a soma das componentes: para ambos 1+(-1)+0=0 e 1+0+(-1)=0. São independentes (não são múltiplos um do outro), logo formam uma base do autoespaço correspondente a \lambda=1. Assim os autovetores para \lambda=1 são combinações lineares
x = s\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix},\qquad s,t\in\mathbb{R},\\ \text{nem ambos zero}.]
Passo 6
Bases dos autoespaços e matriz diagonal semelhante. Resumo das bases encontradas:
Para \lambda=4: base do autoespaço E_4 é \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.
Para \lambda=1: base do autoespaço E_1 é \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}\right\}.
Se montar a matriz P cujas colunas são esses autovetores (na ordem autovalor \lambda=4 primeiro, depois os dois de \lambda=1):
Observação didática: como A é simétrica, existe uma base ortonormal de autovetores; os autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais. Aqui os autoespaços têm as dimensões esperadas (geométrica igual à algébrica para cada autovalor), então A é diagonalizável e D acima é a diagonalização.]
(b) Autovetores para \lambda=4: t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}, t\neq0. Autovetores para \lambda=1: s\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}, com s,t não ambos zero.
(c) Base de E_4: \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}. Base de E_1: \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}\right\}.
(d) Uma matriz diagonal semelhante a A é \displaystyle D=\begin{pmatrix}4 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.]