O enunciado dá a transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
\mathrm{T}(x,y)=(2x-y,\,0).
O que se pede:
Determinar a matriz de \mathrm{T} (presumivelmente na base canônica de \mathbb{R}^2).
Determinar o determinante dessa matriz.
Informações relevantes dadas:
A fórmula explícita de \mathrm{T} para um vetor (x,y).
Não foi dada outra base, então usa-se a base canônica \{(1,0),(0,1)\}.
Passo 2
Lembrete prático (o que é a matriz de uma transformação linear na base canônica).
A base canônica de \mathbb{R}^2 é \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1).
A matriz de \mathrm{T} relativa a essa base tem como colunas as imagens de \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_2, respectivamente. Ou seja, se
A=\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}
é a matriz de \mathrm{T} na base canônica, então
A = \big[\,\mathrm{T}(\mathbf{e}_1)\\ \\ \mathrm{T}(\mathbf{e}_2)\,\big],
onde cada \mathrm{T}(\mathbf{e}_i) aparece como coluna (com as componentes na ordem x, y).
Explicando por que: aplicar a matriz A ao vetor coordenado (x,y) dá x vezes a primeira coluna mais y vezes a segunda coluna, que coincide com a linearidade de \mathrm{T}.
Passo 3
Calcular \mathrm{T}(\mathbf{e}_1) e \mathrm{T}(\mathbf{e}_2) por substituição direta.
Explicação: a primeira coluna \begin{pmatrix}2\\\ 0\end{pmatrix} vem de \mathrm{T}(\mathbf{e}_1) e a segunda coluna \begin{pmatrix}-1\\\ 0\end{pmatrix} vem de \mathrm{T}(\mathbf{e}_2).]
Passo 5
Definição e fórmula do determinante de uma matriz 2\times2.
Para uma matriz
M=\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix},
o determinante é
\det(M)=ad-bc.
Interpretação curta: o determinante mede o fator de escala da área quando se aplica a transformação linear representada por M; se \det(M)=0, a transformação “aplana” o plano (perde dimensão) e não é invertível.
Passo 6
Aplicar a fórmula do determinante à matriz encontrada. Para
A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ 0 & 0 \end{pmatrix},
temos a=2, b=-1, c=0, d=0. Então
\det(A)=a d - b c = 2\cdot 0 - (-1)\cdot 0 = 0 - 0 = 0.
Fiz a multiplicação e subtração explicitamente para ficar claro.
Passo 7
Interpretação final (útil para a prova e para entender o resultado).
Como \det(A)=0, a transformação \mathrm{T} não é invertível: ela projeta todo o plano para a reta y=0 (o eixo x). Observa-se isso também na fórmula \mathrm{T}(x,y)=(2x-y,0): a segunda coordenada é sempre zero, logo a imagem tem dimensão 1.
Geometricamente, áreas são enviadas para área zero (colapsam), por isso o determinante é zero.
Técnica rápida para a prova: calcule \mathrm{T} nas bases canônicas, monte a matriz com essas colunas e use \det= produto dos elementos da diagonal principal menos produto dos elementos da diagonal secundária.