Considere a transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, definida por \mathrm{T}(\mathrm{v})=\mathrm{A} \cdot \mathrm{v},onde \mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 3 & 4\end{array}\right].
a)verifique se de fato T é uma transformação linear
b)Calcule \mathrm{T}(\mathrm{v}) para o vetor \mathrm{v}_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2\end{array}\right]
c)Deter mine a imagem do vetor genérico \mathrm{v}=\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]
sob a transformação T
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por multiplicação por uma matriz A, onde
A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}.
Pede-se:
a) verificar se T é de fato uma transformação linear;
b) calcular T(v_1) para v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix};
c) determinar a imagem de um vetor genérico v=\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} sob T.
Informações relevantes do enunciado:
A transformação é dada por T(v)=A\cdot v.
A matriz A e os vetores v_1 e v acima são os dados que serão usados nas contas.]
Passo 2
O que significa “ser linear”? Vou explicar de um jeito prático: uma transformação T é linear se satisfaz duas propriedades fundamentais para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}:
aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v);
homogeneidade (ou compatibilidade com escalares): T(cu)=c\,T(u).
Essas duas propriedades juntas capturam a ideia de “preservar soma e multiplicação por escalar”. No caso de transformações definidas por multiplicação por uma matriz, vamos mostrar essas propriedades usando álgebra elementar (sem pressupor resultados avançados).
Sejam u=\begin{pmatrix}u_1\\[2pt]u_2\end{pmatrix} e v=\begin{pmatrix}v_1\\[2pt]v_2\end{pmatrix}. Então
Calcule T(u+v)=A(u+v). Usando a definição de multiplicação de matriz por vetor (cada entrada do produto é uma combinação linear das entradas do vetor):
Como ambas as propriedades são satisfeitas, concluímos rigorosamente que T é linear. Uma observação conceitual curta: multiplicar uma matriz por um vetor produz sempre combinações lineares das colunas da matriz, e isso é a razão pela qual multiplicação por matriz é uma operação linear.]
Passo 3
Agora calculo explicitamente T(v_1) para v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix}. Faço a multiplicação componente a componente:
Por fim, determino a imagem de um vetor genérico v=\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}. Dois métodos simples — vou mostrar os dois porque ajudam a fixar a técnica.
Método 1 (por componentes): multiplicando a matriz pela coluna:
Método 2 (visão pelas colunas — atalho muito útil em prova): veja v=x\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}. Então
porque as colunas de A são \begin{pmatrix}2\\[2pt]3\end{pmatrix} (primeira coluna) e \begin{pmatrix}-1\\[2pt]4\end{pmatrix} (segunda coluna). Esse método costuma ser mais rápido mentalmente.]
Passo 5
Resumo prático para a prova (dicas rápidas e confortantes):
Para mostrar que uma transformação T(v)=A v é linear, basta aplicar distributividade e fatorar escalares como fizemos; isso dá duas linhas de cálculo e já resolve a letra (a).
Para multiplicar A por um vetor, calcule as entradas com somas de produtos (ou use a ideia das colunas). Treine com vetores simples para pegar prática.
Não fique nervoso: se lembrar que cada componente do produto é “linha da matriz · vetor” você resolve rápido.
Resposta
a) Sim. T é linear.
b) T\!\left(\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}0\\[2pt]11\end{pmatrix}.
c) T\!\left(\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2x - y\\[6pt]3x + 4y\end{pmatrix}.]