Considere a transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, definida por \mathrm{T}(\mathrm{v})=\mathrm{A} \cdot \mathrm{v},onde \mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 3 & 4\end{array}\right].
a)verifique se de fato T é uma transformação linear
b)Calcule \mathrm{T}(\mathrm{v}) para o vetor \mathrm{v}_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2\end{array}\right]
c)Deter mine a imagem do vetor genérico \mathrm{v}=\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]
sob a transformação T

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por multiplicação por uma matriz A, onde
A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}.
Pede-se:
a) verificar se T é de fato uma transformação linear;
b) calcular T(v_1) para v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix};
c) determinar a imagem de um vetor genérico v=\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} sob T.
Informações relevantes do enunciado:
  • A transformação é dada por T(v)=A\cdot v.
  • A matriz A e os vetores v_1 e v acima são os dados que serão usados nas contas.]

Passo 2

O que significa “ser linear”? Vou explicar de um jeito prático: uma transformação T é linear se satisfaz duas propriedades fundamentais para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}:
  1. aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v);
  2. homogeneidade (ou compatibilidade com escalares): T(cu)=c\,T(u).
Essas duas propriedades juntas capturam a ideia de “preservar soma e multiplicação por escalar”. No caso de transformações definidas por multiplicação por uma matriz, vamos mostrar essas propriedades usando álgebra elementar (sem pressupor resultados avançados).
Sejam u=\begin{pmatrix}u_1\\[2pt]u_2\end{pmatrix} e v=\begin{pmatrix}v_1\\[2pt]v_2\end{pmatrix}. Então
u+v=\begin{pmatrix}u_1+v_1\\[2pt]u_2+v_2\end{pmatrix}.
Calcule T(u+v)=A(u+v). Usando a definição de multiplicação de matriz por vetor (cada entrada do produto é uma combinação linear das entradas do vetor):
A(u+v) = \begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_1+v_1\\[2pt]u_2+v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2(u_1+v_1)-1(u_2+v_2)\\[6pt]3(u_1+v_1)+4(u_2+v_2)\end{pmatrix}.
Distribuindo os parênteses (propriedade distributiva da multiplicação sobre a soma):
A(u+v)=\begin{pmatrix}2u_1-1u_2\\[4pt]3u_1+4u_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2v_1-1v_2\\[4pt]3v_1+4v_2\end{pmatrix}.
Note que os dois vetores à direita são Au e Av. Logo
A(u+v)=Au+Av,
ou seja,
T(u+v)=T(u)+T(v).
Isso prova a aditividade.
Agora a homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R}. Temos
T(cu)=A(cu)=A\begin{pmatrix}cu_1\\[2pt]cu_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2(cu_1)-1(cu_2)\\[4pt]3(cu_1)+4(cu_2)\end{pmatrix}.
Fatorando c de cada componente (propriedade distributiva e comutatividade com escalares):
A(cu)=c\begin{pmatrix}2u_1-1u_2\\[4pt]3u_1+4u_2\end{pmatrix}=c(Au)=c\,T(u).
Portanto T(cu)=c\,T(u).
Como ambas as propriedades são satisfeitas, concluímos rigorosamente que T é linear. Uma observação conceitual curta: multiplicar uma matriz por um vetor produz sempre combinações lineares das colunas da matriz, e isso é a razão pela qual multiplicação por matriz é uma operação linear.]

Passo 3

Agora calculo explicitamente T(v_1) para v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix}. Faço a multiplicação componente a componente:
T(v_1)=A v_1 =\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\cdot 1 + (-1)\cdot 2\\[6pt]3\cdot 1 + 4\cdot 2\end{pmatrix}.
Calcule cada componente:
\text{primeira componente: }2\cdot 1 - 1\cdot 2 = 2-2=0,
\text{segunda componente: }3\cdot 1 + 4\cdot 2 = 3+8=11.
Portanto
T(v_1)=\begin{pmatrix}0\\[2pt]11\end{pmatrix}.]

Passo 4

Por fim, determino a imagem de um vetor genérico v=\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}. Dois métodos simples — vou mostrar os dois porque ajudam a fixar a técnica.
Método 1 (por componentes): multiplicando a matriz pela coluna:
T\!\left(\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x - y\\[6pt]3x + 4y\end{pmatrix}.
Método 2 (visão pelas colunas — atalho muito útil em prova): veja v=x\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}. Então
A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=xA\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}+yA\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}2\\[2pt]3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-1\\[2pt]4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2x - y\\[6pt]3x + 4y\end{pmatrix},
porque as colunas de A são \begin{pmatrix}2\\[2pt]3\end{pmatrix} (primeira coluna) e \begin{pmatrix}-1\\[2pt]4\end{pmatrix} (segunda coluna). Esse método costuma ser mais rápido mentalmente.]

Passo 5

Resumo prático para a prova (dicas rápidas e confortantes):
  • Para mostrar que uma transformação T(v)=A v é linear, basta aplicar distributividade e fatorar escalares como fizemos; isso dá duas linhas de cálculo e já resolve a letra (a).
  • Para multiplicar A por um vetor, calcule as entradas com somas de produtos (ou use a ideia das colunas). Treine com vetores simples para pegar prática.
  • Não fique nervoso: se lembrar que cada componente do produto é “linha da matriz · vetor” você resolve rápido.

Resposta

a) Sim. T é linear.
b) T\!\left(\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}0\\[2pt]11\end{pmatrix}.
c) T\!\left(\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2x - y\\[6pt]3x + 4y\end{pmatrix}.]

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