Considere a transformação:
soma dos elementos da diagonal secundária.
a)Verifique se é linear,sem usar contra prova
b)Determine o núcleo e sua dimensão
c)Imagem e sua dimensão
d) O Teorema da dimensão falha? Detalhe.
a)Verifique se é linear,sem usar contra prova
b)Determine o núcleo e sua dimensão
c)Imagem e sua dimensão
d) O Teorema da dimensão falha? Detalhe.
Passo 1
O enunciado dá:
- O espaço de partida é
, ou seja matrizes com entradas reais. - O espaço de chegada é
, o espaço dos polinômios em de grau . - Para uma matriz
a transformação é definida como “soma dos elementos da diagonal secundária”.
Observação importante que vou usar a partir daqui (peguei isto do enunciado): a soma dos elementos da diagonal secundária é o número real
. Como o contradomínio é
, interpreto
como o polinômio constante cujo valor é esse número; isto é,
é o polinômio constante
.
O que o problema pede:
(a) Verificar se é linear (sem usar prova por contradição).
(b) Determinar o núcleo e sua dimensão.
(c) Determinar a imagem e sua dimensão.
(d) Dizer se o Teorema da Dimensão (teorema posto da nulidade + posto) “falha” aqui e justificar.]
(a) Verificar se
(b) Determinar o núcleo
(c) Determinar a imagem
(d) Dizer se o Teorema da Dimensão (teorema posto da nulidade + posto) “falha” aqui e justificar.]
Passo 2
Entendendo bem a definição de linearidade: uma transformação linear
deve satisfazer duas propriedades para todos
e todo escalar
:
- Aditividade:
. - Homogeneidade:
.
Vou usar a forma explícita das entradas das matrizes para verificar essas propriedades. Escrevo duas matrizes quaisquer
Pelo enunciado (interpretação: polinômio constante), tenho
Passo 3
Verifico aditividad e homogeneidade passo a passo:
Aditividade:
então, aplicando
,
Homogeneidade: para
,
logo
Como ambas as propriedades valem, concluo que
é linear.]
Passo 4
Encontrar o núcleo: definição e equação.
Por definição,
Usando a forma de
isso equivale a
Ou seja, a condição é
; as entradas
e
são livres (podem ser quaisquer reais).]
Passo 5
Expressão paramétrica e base do núcleo; cálculo da dimensão.
Escolho parâmetros livres
,
e
. Como
, toda matriz do núcleo pode ser escrita como
Portanto uma base explícita para
é
Essas três matrizes são linearmente independentes (se uma combinação linear delas é a matriz nula, comparando entradas chega-se aos coeficientes todos nulos), logo formam uma base. Assim
Passo 6
Determinar a imagem e sua dimensão.
A imagem é
Mas
é sempre um número real, isto é, sempre um polinômio constante. Mostro que todo polinômio constante
é atingido: para dado
basta tomar, por exemplo,
pois
. Logo a imagem é exatamente o subespaço dos polinômios constantes em
, ou seja
Portanto
Passo 7
Verificação do Teorema da Dimensão (rank–nullity).
O espaço
tem dimensão
(quatro entradas livres). Já encontramos
e
. Soma:
Isto mostra que o Teorema da Dimensão (também chamado Teorema do Núcleo e Imagem ou rank–nullity) NÃO falha aqui; ele é satisfeito exatamente.
Passo 8
Resumo final curto (para consultar rápido na prova):
é linear; o núcleo são as matrizes com
(dimensão
); a imagem é o espaço dos polinômios constantes em
(dimensão
); e a soma das dimensões dá
, então o teorema da dimensão vale.
Resposta
(a)
é linear.
(b)
,
.
(c)
,
.
(d) O Teorema da Dimensão não falha:
.]