Considere a transformação: \mathrm{T}: \mathrm{V}=\mathrm{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow W=P_{2}(x)
T(A)= soma dos elementos da diagonal secundária.
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right)
a)Verifique se é linear,sem usar contra prova
b)Determine o núcleo e sua dimensão
c)Imagem e sua dimensão
d) O Teorema da dimensão falha? Detalhe.

Passo 1

O enunciado dá:
  • O espaço de partida é V=\mathrm{M}_{2\times2}(\mathbb{R}), ou seja matrizes 2\times2 com entradas reais.
  • O espaço de chegada é W=P_{2}(x), o espaço dos polinômios em x de grau \le 2.
  • Para uma matriz \displaystyle A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} a transformação é definida como “soma dos elementos da diagonal secundária”.
Observação importante que vou usar a partir daqui (peguei isto do enunciado): a soma dos elementos da diagonal secundária é o número real \,a_{12}+a_{21}\,. Como o contradomínio é P_{2}(x), interpreto T(A) como o polinômio constante cujo valor é esse número; isto é, T(A) é o polinômio constante a_{12}+a_{21}\in P_{2}(x).
O que o problema pede:
(a) Verificar se T é linear (sem usar prova por contradição).
(b) Determinar o núcleo \ker(T) e sua dimensão.
(c) Determinar a imagem \operatorname{Im}(T) e sua dimensão.
(d) Dizer se o Teorema da Dimensão (teorema posto da nulidade + posto) “falha” aqui e justificar.]

Passo 2

Entendendo bem a definição de linearidade: uma transformação linear T:V\to W deve satisfazer duas propriedades para todos A,B\in V e todo escalar \lambda\in\mathbb{R}:
  1. Aditividade: T(A+B)=T(A)+T(B).
  2. Homogeneidade: T(\lambda A)=\lambda T(A).
Vou usar a forma explícita das entradas das matrizes para verificar essas propriedades. Escrevo duas matrizes quaisquer
A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\[4pt]a_{21}&a_{22}\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\[4pt]b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}.
Pelo enunciado (interpretação: polinômio constante), tenho
T(A)=a_{12}+a_{21},\qquad T(B)=b_{12}+b_{21}.]

Passo 3

Verifico aditividad e homogeneidade passo a passo:
Aditividade:
A+B=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\[4pt]a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\end{pmatrix},
então, aplicando T,
T(A+B)=(a_{12}+b_{12})+(a_{21}+b_{21})=(a_{12}+a_{21})+(b_{12}+b_{21})=T(A)+T(B).
Homogeneidade: para \lambda\in\mathbb{R},
\lambda A=\begin{pmatrix}\lambda a_{11}&\lambda a_{12}\\[4pt]\lambda a_{21}&\lambda a_{22}\end{pmatrix},
logo
T(\lambda A)=\lambda a_{12}+\lambda a_{21}=\lambda(a_{12}+a_{21})=\lambda T(A).
Como ambas as propriedades valem, concluo que T é linear.]

Passo 4

Encontrar o núcleo: definição e equação.
Por definição,
\ker(T)=\{A\in V:\;T(A)=0\}.
Usando a forma de T(A) isso equivale a
\ker(T)=\left\{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\[4pt]a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\in\mathrm{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) : a_{12}+a_{21}=0\right\}.
Ou seja, a condição é a_{12}=-a_{21}; as entradas a_{11} e a_{22} são livres (podem ser quaisquer reais).]

Passo 5

Expressão paramétrica e base do núcleo; cálculo da dimensão.
Escolho parâmetros livres s=a_{11}\in\mathbb{R}, t=a_{21}\in\mathbb{R} e u=a_{22}\in\mathbb{R}. Como a_{12}=-a_{21}=-t, toda matriz do núcleo pode ser escrita como
\begin{pmatrix}s & -t\\[4pt] t & u\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
Portanto uma base explícita para \ker(T) é
B_{\ker}=\left\{\,\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\right\}.
Essas três matrizes são linearmente independentes (se uma combinação linear delas é a matriz nula, comparando entradas chega-se aos coeficientes todos nulos), logo formam uma base. Assim
\dim\ker(T)=3.]

Passo 6

Determinar a imagem e sua dimensão.
A imagem é
\operatorname{Im}(T)=\{T(A):A\in V\}\subseteq P_{2}(x).
Mas T(A)=a_{12}+a_{21} é sempre um número real, isto é, sempre um polinômio constante. Mostro que todo polinômio constante c é atingido: para dado c\in\mathbb{R} basta tomar, por exemplo,
A=\begin{pmatrix}0 & c\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
pois T(A)=c+0=c. Logo a imagem é exatamente o subespaço dos polinômios constantes em P_{2}(x), ou seja
\operatorname{Im}(T)=\{\,p(x)\in P_{2}(x): p(x)=c\text{ para algum }c\in\mathbb{R}\,\}=\operatorname{Span}\{1\}.
Portanto
\dim\operatorname{Im}(T)=1.]

Passo 7

Verificação do Teorema da Dimensão (rank–nullity).
O espaço V=\mathrm{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) tem dimensão 4 (quatro entradas livres). Já encontramos \dim\ker(T)=3 e \dim\operatorname{Im}(T)=1. Soma:
\dim\ker(T)+\dim\operatorname{Im}(T)=3+1=4=\dim V.
Isto mostra que o Teorema da Dimensão (também chamado Teorema do Núcleo e Imagem ou rank–nullity) NÃO falha aqui; ele é satisfeito exatamente.

Passo 8

Resumo final curto (para consultar rápido na prova): T é linear; o núcleo são as matrizes com a_{12}=-a_{21} (dimensão 3); a imagem é o espaço dos polinômios constantes em P_{2}(x) (dimensão 1); e a soma das dimensões dá \dim V, então o teorema da dimensão vale.

Resposta

(a) T é linear.
(b) \displaystyle \ker(T)=\left\{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\[4pt]a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\in\mathrm{M}_{2\times2}(\mathbb{R}):a_{12}+a_{21}=0\right\}=\operatorname{Span}\!\left\{\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\right\}, \dim\ker(T)=3.
(c) \displaystyle \operatorname{Im}(T)=\{\,\text{polinômios constantes}\,\}=\operatorname{Span}\{1\}\subset P_{2}(x)ô, \dim\operatorname{Im}(T)=1.
(d) O Teorema da Dimensão não falha: \dim V=4=\dim\ker(T)+\dim\operatorname{Im}(T)=3+1.]

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