No espaço
com o produto interno usual, sejam
e
. Calcule:
a)
(produto interno).
b)
(normas).
c)
, onde
é o ângulo entre u e v.
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
no espaço
com o produto interno usual, e pede três coisas:
- (a) o produto interno
; - (b) as normas
e ; - (c) o valor de
, onde é o ângulo entre e .
As informações relevantes são exatamente as coordenadas dos vetores
e
.
Passo 2
Definição e cálculo do produto interno (produto escalar) no
.
- Lembrete: o produto interno usual (produto escalar) entre dois vetores
e é dado por
Aqui cada
e
é a coordenada correspondente dos vetores; somamos os produtos coordenada a coordenada.
- Aplicando isso a
e :
Calculemos termo a termo:
,
,
. Somando,
Passo 3
Definição e cálculo da norma de um vetor.
- Lembrete: a norma (comprimento) de um vetor
no é definida por
Isso significa que para achar
você soma os quadrados das coordenadas e tira a raiz quadrada.
- Calculemos
para :
Expliquei passo a passo: quadrados são
; soma é
; raiz quadrada é
.
Passo 4
Cálculo de
para
.
- Usando a mesma fórmula:
Portanto
. Se precisar de aproximação numérica,
(uso vírgula como separador decimal).
Passo 5
Fórmula do cosseno do ângulo entre vetores e cálculo de
.
- Lembrete: o cosseno do ângulo
entre dois vetores e é dado por
Essa fórmula vem da relação entre produto escalar e geometria: o produto escalar mede “quanto” os vetores apontam na mesma direção.
- Aplicando aos nossos valores já calculados:
Se preferir racionalizar o denominador, multiplicando numerador e denominador por
, obtemos
- Aproximação numérica (se ajudar na intuição):
Passo 6
Resumo rápido de como você faria isso na prova:
- Calcule o produto escalar somando os produtos coordenada a coordenada.
- Calcule cada norma somando quadrados das coordenadas e tirando raiz.
- Use a fórmula do cosseno
.
Vai dar certo — você já fez o essencial!
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)