No espaço \mathrm{R}^{\wedge} 3 com o produto interno usual, sejam \mathrm{u}=(1,2,2) e \mathrm{v}=(2,0,1). Calcule:
a) \langle u, v\rangle (produto interno).
b) \|u\| e\|v\| (normas).
c) \cos \theta, onde \theta é o ângulo entre u e v.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(1,2,2) e v=(2,0,1) no espaço \mathbb{R}^3 com o produto interno usual, e pede três coisas:
  • (a) o produto interno \langle u,v\rangle;
  • (b) as normas \|u\| e \|v\|;
  • (c) o valor de \cos\theta, onde \theta é o ângulo entre u e v.
As informações relevantes são exatamente as coordenadas dos vetores u e v.

Passo 2

Definição e cálculo do produto interno (produto escalar) no \mathbb{R}^3.
  • Lembrete: o produto interno usual (produto escalar) entre dois vetores a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) é dado por
\langle a,b\rangle = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
Aqui cada a_i e b_i é a coordenada correspondente dos vetores; somamos os produtos coordenada a coordenada.
  • Aplicando isso a u e v:
\langle u,v\rangle = 1\cdot 2 + 2\cdot 0 + 2\cdot 1.
Calculemos termo a termo: 1\cdot 2 = 2, 2\cdot 0 = 0, 2\cdot 1 = 2. Somando,
\langle u,v\rangle = 2 + 0 + 2 = 4.

Passo 3

Definição e cálculo da norma de um vetor.
  • Lembrete: a norma (comprimento) de um vetor a=(a_1,a_2,a_3) no \mathbb{R}^3 é definida por
\|a\| = \sqrt{\langle a,a\rangle} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}.
Isso significa que para achar \|a\| você soma os quadrados das coordenadas e tira a raiz quadrada.
  • Calculemos \|u\| para u=(1,2,2):
\|u\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3.
Expliquei passo a passo: quadrados são 1,4,4; soma é 9; raiz quadrada é 3.

Passo 4

Cálculo de \|v\| para v=(2,0,1).
  • Usando a mesma fórmula:
\|v\| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}.
Portanto \|v\| = \sqrt{5}. Se precisar de aproximação numérica, \sqrt{5}\approx 2,236 (uso vírgula como separador decimal).

Passo 5

Fórmula do cosseno do ângulo entre vetores e cálculo de \cos\theta.
  • Lembrete: o cosseno do ângulo \theta entre dois vetores a e b é dado por
\cos\theta = \frac{\langle a,b\rangle}{\|a\|\,\|b\|}.
Essa fórmula vem da relação entre produto escalar e geometria: o produto escalar mede “quanto” os vetores apontam na mesma direção.
  • Aplicando aos nossos valores já calculados:
\cos\theta = \frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|} = \frac{4}{3\sqrt{5}}.
Se preferir racionalizar o denominador, multiplicando numerador e denominador por \sqrt{5}, obtemos
\cos\theta = \frac{4\sqrt{5}}{15}.
  • Aproximação numérica (se ajudar na intuição):
\cos\theta \approx 0,5963.

Passo 6

Resumo rápido de como você faria isso na prova:
  • Calcule o produto escalar somando os produtos coordenada a coordenada.
  • Calcule cada norma somando quadrados das coordenadas e tirando raiz.
  • Use a fórmula do cosseno \cos\theta = \dfrac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}.
    Vai dar certo — você já fez o essencial!

Resposta

a) \langle u,v\rangle = 4
b) \|u\| = 3,\quad \|v\| = \sqrt{5}
c) \cos\theta = \dfrac{4}{3\sqrt{5}} = \dfrac{4\sqrt{5}}{15} \approx 0,5963

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