Considere a transformação linear A: R^2 R^2 definida por A(x, y)= (4 x+3 y, x+2 y).
Encontre os autovalores de A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores de uma transformação linear definida por . Para isso, vamos trabalhar com matrizes e entender um pouco sobre autovalores, que são valores especiais associados a uma matriz que mostram como ela “alonga” ou “encolhe” vetores. Vamos precisar montar a matriz da transformação, calcular o polinômio característico e resolver uma equação para encontrar os autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a transformação linear A = 4 & 3 1 & 2 como uma matriz. Quando temos , isso corresponde à matriz:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores, precisamos calcular o polinômio característico da matriz . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores que queremos encontrar.

Passo 4

Vamos montar a matriz A - lambda I = 4 - lambda & 3 1 & 2 - lambda :
det(A - lambda I) = (4 - lambda)(2 - lambda) - (3 times 1) = (4 - lambda)(2 - lambda) - 3
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
(4 - lambda)(2 - lambda) = 8 - 6lambda + lambda^2
Expandindo a multiplicação:
det(A - lambda I) = 8 - 6lambda + lambda^2 - 3 = lambda^2 - 6lambda + 5
Assim, temos:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a equação lambda^2 - 6lambda + 5 = (lambda - 1)(lambda - 5) = 0 para encontrar os valores de lambda = 1 ou lambda = 5 . Vamos resolver essa equação quadrática.
Podemos fatorar a equação:
Assim, as soluções são:

Resposta

Os autovalores da transformação são e .

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