Considere a transformação linear
definida por
.
Encontre os autovalores de
.
Encontre os autovalores de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores de uma transformação linear
definida por
. Para isso, vamos trabalhar com matrizes e entender um pouco sobre autovalores, que são valores especiais associados a uma matriz que mostram como ela “alonga” ou “encolhe” vetores. Vamos precisar montar a matriz da transformação, calcular o polinômio característico e resolver uma equação para encontrar os autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a transformação linear
como uma matriz. Quando temos
, isso corresponde à matriz:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores, precisamos calcular o polinômio característico da matriz
. O polinômio característico é dado por
, onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores que queremos encontrar.
Passo 4
Vamos montar a matriz
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Expandindo a multiplicação:
Assim, temos:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a equação
para encontrar os valores de
. Vamos resolver essa equação quadrática.
Podemos fatorar a equação:
Assim, as soluções são:
Resposta
Os autovalores da transformação
são
e
.