Seja E um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Mostre que existe uma base ortonormal de E.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, em um espaço vetorial E de dimensão finita que tem um produto interno, sempre dá para encontrar uma base que seja ortonormal. Ou seja, uma base onde todos os vetores são “perpendiculares” entre si e com comprimento 1. Para resolver isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que nos ajuda a transformar uma base qualquer em uma base ortonormal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um produto interno. É uma forma de “multiplicar” dois vetores para obter um número, que nos dá informações sobre o ângulo e o comprimento dos vetores. Com o produto interno, a gente pode falar de vetores sendo ortogonais (perpendiculares) se o produto interno deles for zero.

Passo 3

Como o espaço E tem dimensão finita, podemos começar com qualquer base v1, v2, dots, vn de E. Nosso objetivo é transformar essa base em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt.

Passo 4

O processo de Gram-Schmidt funciona assim:
  1. Normalizar o primeiro vetor: Dividimos v1 pelo seu comprimento para obter u1 = v1|v1|.
  2. Ortonormalizar os vetores seguintes:
    • Para cada vk (com k >= 2), subtraímos a projeção de vk nos vetores já ortonormalizados u1, u2, dots, uk-1.
    • Isso garante que uk seja ortogonal a todos os ui anteriores.
    • Depois, normalizamos uk dividindo pelo seu comprimento.
Matematicamente, para cada k:
uk = vk - sumi=1^k-1 ( lang<= vk, ui rang<=lang<= ui, ui rang<= ) ui| vk - sumi=1^k-1 ( lang<= vk, ui rang<=lang<= ui, ui rang<= ) ui |
Aqui, lang<= cdot , cdot rang<= representa o produto interno.

Passo 5

Aplicando esse processo a todos os vetores da base inicial, a gente garante que todos os vetores resultantes u1, u2, dots, un são ortonormais. Ou seja, são todos ortogonais entre si e cada um tem comprimento igual a 1.

Resposta

Portanto, existe sempre uma base ortonormal em um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno, garantida pelo processo de Gram-Schmidt.

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