Determine o valor de k de modo que o sistema
rll -x+2 y+k z & = & 1 k x+4 y-4 z & = & 2 2 x+y+z & = & -2 k
seja:
impossível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações linha por linha. O que a gente quer é achar o valor de que faz o sistema ser impossível de resolver, ou seja, que não tenha nenhuma solução. Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema e ver quando ele dá conflito.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada, que junta os coeficientes das incógnitas e os termos constantes:
-1 & 2 & k & | & 1 k & 4 & -4 & | & 2 2 & 1 & 1 & | & -2k

Passo 3

Vamos começar eliminando a variável k cdot (-1) + k = 0 das segunda e terceira equações. Para isso, usamos a primeira equação como referência.
Multiplicamos a primeira linha por k cdot 2 + 4 = 4 + 2k e somamos com a segunda linha para eliminar k cdot k + (-4) = -4 + k^2 :
k cdot 1 + 2 = 2 + k
0 4 + 2k -4 + k^2 | 2 + k
2 cdot (-1) + 2 = 0
2 cdot 2 + 1 = 5
Então, a segunda linha fica:
2 cdot k + 1 = 1 + 2k
Fazemos o mesmo para a terceira linha, multiplicando a primeira linha por 2 e subtraindo da terceira:
2 cdot 1 + (-2k) = 2 - 2k
0 5 1 + 2k | 2 - 2k
Então, a terceira linha fica:

Passo 4

Agora, temos um sistema menor:
-1 & 2 & k & | & 1 0 & 4 + 2k & -4 + k^2 & | & 2 + k 0 & 5 & 1 + 2k & | & 2 - 2k
Vamos eliminar a da terceira equação. Para isso, vamos multiplicar a segunda linha por e subtrair da terceira linha.
Depois de fazer essas operações, chegamos a uma equação onde os coeficientes de e são zero, restando apenas uma expressão com e os termos constantes.
Para o sistema ser impossível, essa última equação precisa ser uma contradição, tipo ú.

Passo 5

Após simplificar, encontramos que a contradição ocorre quando o denominador 4 + 2k = 0 2k = -4 k = -2 . Resolvendo essa equação:

Resposta

O valor de que torna o sistema impossível é .

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