Considere a transformação linear T: M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}^{3} definida por
T\left(\begin{array}{cc} x & y \\\ z & t \end{array}\right)=(x-y+z, y+2 t, 2 x-2 y+3 z-t)
a) ( 1,5 ponto) Determine uma base do núcleo de T e a dimensão da imagem de T.
b) (0,5 ponto ) T é sobrejetora? Justifique.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
T\colon M_{2\times2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^3,\quad T\bigl(\begin{smallmatrix}x & y\\\ z & t\end{smallmatrix}\bigr)=(x-y+z,\;y+2t,\;2x-2y+3z-t).
Pediu-se (a) uma base do núcleo de T e a dimensão da imagem de T, e (b) se T é sobrejetora. Vamos usar o cálculo do núcleo por sistemas lineares e o teorema do posto-nulidade.
Passo 2
Para encontrar \ker T\), escrevemos
\[T\bigl(\begin{smallmatrix}x & y\\\ z & t\end{smallmatrix}\bigr)=(0,0,0)
equivalente ao sistema
\begin{cases} x - y + z = 0,\\\ y + 2t = 0,\\\\ 2x - 2y + 3z - t = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem \;y=-2t\]. Substituindo na primeira:
\[x -(-2t)+z=0\implies x+2t+z=0\implies x=-2t - z.\]
Na terceira:
\[2(-2t - z)-2(-2t)+3z - t=0 \;\Longrightarrow\;-4t-2z+4t+3z-t=0 \;\Longrightarrow\;z - t=0 \;\Longrightarrow\;z=t.\]
Logo \(z=t, y=-2t, x=-2t - t=-3t. Tomando parâmetro livre t,