Considere a transformação linear T: M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}^{3} definida por
T\left(\begin{array}{cc} x & y \\\ z & t \end{array}\right)=(x-y+z, y+2 t, 2 x-2 y+3 z-t)
a) ( 1,5 ponto) Determine uma base do núcleo de T e a dimensão da imagem de T.
b) (0,5 ponto ) T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon M_{2\times2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^3,\quad T\bigl(\begin{smallmatrix}x & y\\\ z & t\end{smallmatrix}\bigr)=(x-y+z,\;y+2t,\;2x-2y+3z-t).
Pediu-se (a) uma base do núcleo de T e a dimensão da imagem de T, e (b) se T é sobrejetora. Vamos usar o cálculo do núcleo por sistemas lineares e o teorema do posto-nulidade.

Passo 2

Para encontrar \ker T\), escrevemos \[T\bigl(\begin{smallmatrix}x & y\\\ z & t\end{smallmatrix}\bigr)=(0,0,0)
equivalente ao sistema
\begin{cases} x - y + z = 0,\\\ y + 2t = 0,\\\\ 2x - 2y + 3z - t = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem \;y=-2t\]. Substituindo na primeira: \[x -(-2t)+z=0\implies x+2t+z=0\implies x=-2t - z.\] Na terceira: \[2(-2t - z)-2(-2t)+3z - t=0 \;\Longrightarrow\;-4t-2z+4t+3z-t=0 \;\Longrightarrow\;z - t=0 \;\Longrightarrow\;z=t.\] Logo \(z=t, y=-2t, x=-2t - t=-3t. Tomando parâmetro livre t,
\begin{pmatrix}x\y\z\t\end{pmatrix} =t\begin{pmatrix}-3\\\ -2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},
que corresponde à matriz \begin{pmatrix}-3 & -2\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Pelo teorema do posto-nulidade temos
\dim M_{2\times2}(\mathbb{R})=4 \quad\text{e}\quad \dim\ker T=1 \;\Longrightarrow\; \dim\operatorname{Im}T=4-1=3.

Passo 4

Como \dim\operatorname{Im}T=3 e \dim\mathbb{R}^3=3, segue que \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3. Portanto T é sobrejetora.

Resposta

(a) Uma base de \ker T é
\left\{\begin{pmatrix}-3 & -2\\\ 1 & 1\end{pmatrix}\right\},
e \dim\operatorname{Im}T=3.\n
(b) Sim, T é sobrejetora, pois \dim\operatorname{Im}T=\dim\mathbb{R}^3=3.

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