(2,0 pontos) Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
a) ( ) F: M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, definida por F(X)=\operatorname{det} X, é uma transformação linear.
b) ( ) \lambda=2 é um autovalor do operador linear T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} definido por T(x, y)= (x+3 y,-x+4 y).
Passo 1
O enunciado traz dois itens envolvendo álgebra linear. No item (a) queremos saber se a função
F\colon M_{2\times2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R},\quad F(X)=\det X
é linear, isto é, se vale
F(X+Y)=F(X)+F(Y)\quad\text{e}\quad F(cX)=c\,F(X)
para quaisquer matrizes X,Y e escalar c. No item (b) temos o operador linear
Da primeira equação vem x+3y=2x\implies x=3y\]. Substituindo na segunda:
\[-(3y)+4y=2y\implies y=2y\implies y=0,\]
logo \(x=3\cdot0=0. A única solução é a trivial (0,0). Portanto não há vetor não nulo que satisfaça T(v)=2v, ou seja, \lambda=2não é autovalor de T.