(2,0 pontos) Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
a) ( ) F: M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, definida por F(X)=\operatorname{det} X, é uma transformação linear.
b) ( ) \lambda=2 é um autovalor do operador linear T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} definido por T(x, y)= (x+3 y,-x+4 y).

Passo 1

O enunciado traz dois itens envolvendo álgebra linear. No item (a) queremos saber se a função
F\colon M_{2\times2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R},\quad F(X)=\det X
é linear, isto é, se vale
F(X+Y)=F(X)+F(Y)\quad\text{e}\quad F(cX)=c\,F(X)
para quaisquer matrizes X,Y e escalar c. No item (b) temos o operador linear
T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad T(x,y)=(x+3y,\,-x+4y)
e precisamos verificar se \lambda=2 é autovalor, ou seja, se existe vetor não nulo (x,y) tal que
T(x,y)=2\,(x,y).

Passo 2

Para o item (a) basta dar um contraexemplo mostrando que \det não preserva soma. Considere
X=I=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, \quad Y=I.
Então \det X=1, \det Y=1 e
X+Y=2I=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&2\end{pmatrix}
tem \det(2I)=2^2=4. Se \det fosse linear teríamos
\det(X+Y)=\det X+\det Y=1+1=2,
mas na verdade \det(X+Y)=4\neq2. Logo F não é linear.

Passo 3

Para o item (b) escrevemos T\) na base canônica como a matriz \[A=\begin{pmatrix}1&3\\\ -1&4\end{pmatrix}.
Procuramos (x,y)\neq(0,0) tal que
A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =2\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
ou seja,
\begin{cases} x+3y=2x,\\\\ -\,x+4y=2y. \end{cases}
Da primeira equação vem x+3y=2x\implies x=3y\]. Substituindo na segunda: \[-(3y)+4y=2y\implies y=2y\implies y=0,\] logo \(x=3\cdot0=0. A única solução é a trivial (0,0). Portanto não há vetor não nulo que satisfaça T(v)=2v, ou seja, \lambda=2 não é autovalor de T.

Resposta

(a) F
(b) F

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