Considere as bases \gamma=\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\} do \mathbb{R}^{4} e \alpha=\{(1,0),(0,1)\} e \beta=\{(1,-1),(0,1)\} do \mathbb{R}^{2}. Considere também as transformações lineares T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} e F: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{4} tais que [T]_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ -1 & 5\end{array}\right) e F(x, y)= (y, x-y, 4 x-3 y,-2 x).
a) ( 1,0 ponto) Determine T(x, y).
b) ( 1,5 ponto) Mostre que T é um isomorfismo e determine T^{-1}(x, y).
c) (1,0 ponto) Determine [F]_{\gamma}^{\beta}.
Passo 1
O enunciado dá duas bases em \mathbb{R}^2: a base-canônica \alpha e a base \beta=\{b_1=(1,-1),\,b_2=(0,1)\}, e a transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz em relação a \beta (domínio) e \alpha (contradomínio) é
Também temos F\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^4 dada por
F(x,y)=(y,\;x-y,\;4x-3y,\;-2x)
e queremos a) a forma explícita de T(x,y) no sistema canônico, b) provar que T é isomorfismo e achar T^{-1}, c) encontrar [F]_{\gamma}^{\beta} onde \gamma é a base-canônica de \mathbb{R}^4.