Considere as bases \gamma=\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\} do \mathbb{R}^{4} e \alpha=\{(1,0),(0,1)\} e \beta=\{(1,-1),(0,1)\} do \mathbb{R}^{2}. Considere também as transformações lineares T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} e F: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{4} tais que [T]_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ -1 & 5\end{array}\right) e F(x, y)= (y, x-y, 4 x-3 y,-2 x).
a) ( 1,0 ponto) Determine T(x, y).
b) ( 1,5 ponto) Mostre que T é um isomorfismo e determine T^{-1}(x, y).
c) (1,0 ponto) Determine [F]_{\gamma}^{\beta}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases em \mathbb{R}^2: a base-canônica \alpha e a base \beta=\{b_1=(1,-1),\,b_2=(0,1)\}, e a transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz em relação a \beta (domínio) e \alpha (contradomínio) é
[T]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix}0 & -1\\\\ -1 & 5\end{pmatrix}.
Também temos F\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^4 dada por
F(x,y)=(y,\;x-y,\;4x-3y,\;-2x)
e queremos a) a forma explícita de T(x,y) no sistema canônico, b) provar que T é isomorfismo e achar T^{-1}, c) encontrar [F]_{\gamma}^{\beta} onde \gamma é a base-canônica de \mathbb{R}^4.

Passo 2

Para achar T(x,y) no sistema canônico, escrevemos
(x,y)=\lambda_1\,b_1+\lambda_2\,b_2 =\bigl(\lambda_1,\,-\lambda_1+\lambda_2\bigr).
Igualando componentes:
\lambda_1 = x,\qquad -\lambda_1+\lambda_2 = y \quad\Longrightarrow\quad \lambda_2 = x+y.
Como as colunas de [T]_{\beta}^{\alpha} são T(b_1) e T(b_2) em coordenadas padrão,
T(b_1)=(0,-1),\quad T(b_2)=(-1,5),
temos então
T(x,y) =\lambda_1\,T(b_1)+\lambda_2\,T(b_2) =x\,(0,-1)+(x+y)\,(-1,5) =(-x-y,\;4x+5y).

Passo 3

O núcleo de T é trivial se o determinante da matriz padrão é não nulo. A matriz de T em coordenadas canônicas é
A=\begin{pmatrix}-1 & -1\\\ 4 & 5\end{pmatrix},
com
\det A = (-1)\cdot5 -(-1)\cdot4 = -5+4 = -1\neq0.
Logo T é isomorfismo. Sua inversa é dada por
A^{-1}=\frac1{\det A} \begin{pmatrix}5 & 1\\\ -4 & -1\end{pmatrix} =-\begin{pmatrix}5 & 1\\\ -4 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-5 & -1\\\ 4 & 1\end{pmatrix},
portanto
T^{-1}(u,v)=(-5u - v,\;4u + v).

Passo 4

Para achar [F]_{\gamma}^{\beta}, calculamos F sobre os vetores de \beta e expressamos na base-canônica \gamma de \mathbb{R}^4:
F(b_1)=F(1,-1)=(-1,\,2,\,7,\,-2),\quad F(b_2)=F(0,1)=(1,\,-1,\,-3,\,0).
Logo
[F]_{\gamma}^{\beta} =\begin{pmatrix} -1 & 1\\\\ 2 & -1\\\\ 7 & -3\\\\ -2 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

a) \;T(x,y)=(-x-y,\;4x+5y).
b) T é isomorfismo (pois \det=-1\neq0) e
\;T^{-1}(u,v)=(-5u - v,\;4u + v).
c)
[F]_{\gamma}^{\beta} =\begin{pmatrix} -1 & 1\\\\ 2 & -1\\\\ 7 & -3\\\\ -2 & 0 \end{pmatrix}.

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