1. (2,0 pontos) Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
    a) ( ) S: M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, definida por S\left(\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right)=(x+w, y+z), é uma transformação linear.
    b) ( ) u=(1,1,1) é um autovetor do operador linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} definido por T(x, y, z)=(2 x-5 y, x-6 y+2 z,-3 z).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada afirmação é verdadeira ou falsa, com justificativa. O conteúdo envolve transformações lineares em M_{2\times2}(\mathbb{R}) e autovetores em \mathbb{R}^3. Em (a) usaremos que S é linear se, para todas matrizes A,B e escalar c, valem
S(A+B)=S(A)+S(B) \quad\text{e}\quad S(cA)=c\,S(A).
Em (b) usaremos que um vetor u é autovetor de T se existe \lambda tal que
T(u)=\lambda\,u.

Passo 2

Verificação de (a). Seja
A=\begin{pmatrix}x_1 & y_1 \\\ z_1 & w_1\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}x_2 & y_2 \\\ z_2 & w_2\end{pmatrix}, \quad c\in\mathbb{R}.
Então
S(A+B) =\bigl((x_1+x_2)+(w_1+w_2),\,(y_1+y_2)+(z_1+z_2)\bigr)
=\bigl(x_1+w_1,\,y_1+z_1\bigr)+\bigl(x_2+w_2,\,y_2+z_2\bigr) =S(A)+S(B),
e
S(cA) =\bigl(c x_1+c w_1,\;c y_1+c z_1\bigr) =c\,(x_1+w_1,\,y_1+z_1) =c\,S(A).
Logo, S preserva soma e produto escalar, sendo linear. Portanto o item (a) é verdadeiro.

Passo 3

Verificação de (b). Seja u=(1,1,1). Calculamos
T(u)=T(1,1,1) =(2\cdot1-5\cdot1,\;1-6\cdot1+2\cdot1,\;-3\cdot1) =(-3,-3,-3).
Como
(-3,-3,-3)=-3\,(1,1,1)=-3\,u,
existe \lambda=-3 tal que T(u)=\lambda\,u. Assim u é autovetor de T e o item (b) é verdadeiro.

Resposta

(a) V
(b) V

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