- (2,0 pontos) Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
a) ( )
, definida por
, é uma transformação linear.
b) ( )
é um autovetor do operador linear
definido por
.
a) ( )
b) ( )
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada afirmação é verdadeira ou falsa, com justificativa. O conteúdo envolve transformações lineares em
e autovetores em
. Em (a) usaremos que
é linear se, para todas matrizes
e escalar
, valem
Em (b) usaremos que um vetor
é autovetor de
se existe
tal que
Passo 2
Verificação de (a). Seja
Então
e
Logo,
preserva soma e produto escalar, sendo linear. Portanto o item (a) é verdadeiro.
Passo 3
Verificação de (b). Seja
. Calculamos
Como
existe
tal que
. Assim
é autovetor de
e o item (b) é verdadeiro.
Resposta
(a) V
(b) V
(b) V