Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por
T(x, y, z)=(x+y, y+z, x+z)
Determine \operatorname{Nuc}(T).

Passo 1

O enunciado fornece a transformação linear T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=(x+y,\;y+z,\;x+z).
A pergunta é: determinar \operatorname{Nuc}(T), ou seja, o núcleo de T (o conjunto de vetores em \mathbb{R}^{3} que são enviados para o vetor nulo por T).

Passo 2

Vamos recordar a definição do núcleo de uma transformação linear de forma bem didática. Dado T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, o núcleo é
\operatorname{Nuc}(T)=\{v\in\mathbb{R}^{3}\mid T(v)=(0,0,0)\}.
Isto é, precisamos encontrar todas as tuplas (x,y,z) tais que T(x,y,z)=(0,0,0). Vou chamar de forma explícita o vetor genérico por (x,y,z), onde \;x,y,z\in\mathbb{R}.

Passo 3

Escrevendo a condição T(x,y,z)=(0,0,0) componente a componente, obtemos o sistema de equações
\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] y+z=0,\\[4pt] x+z=0. \end{cases}
Vou resolver esse sistema passo a passo, sem pular etapas.]

Passo 4

Da primeira equação \;x+y=0\; segue diretamente que
x=-y.
Da segunda equação \;y+z=0\; segue que
z=-y.
Agora substituo x=-y e z=-y na terceira equação x+z=0. Fazendo a substituição obtenho
(-y)+(-y)=0.
Ou seja,
-2y=0.
Dividindo ambos os lados por -2 (operação válida porque -2\neq0) encontramos
y=0.
Então, voltando às expressões x=-y e z=-y, obtemos
x=0,\qquad z=0.
Portanto a única solução do sistema é (x,y,z)=(0,0,0).

Passo 5

Interpretação e consequência: como a única solução da condição T(x,y,z)=(0,0,0) é o vetor nulo, o núcleo consiste apenas do vetor nulo. Em palavras: a transformação não tem vetores não nulos que vão para zero; isto significa que T é injetora.
Para reforçar (cheque alternativo): escrevendo T na base padrão, a matriz associada é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Um modo rápido de verificar que o núcleo é trivial é calcular o determinante de A. Calculo do determinante por expansão:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Agora as menores:
\det\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot0=1,
\det\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix}=0\cdot1-1\cdot1=-1.
Logo
\det(A)=1-1\cdot(-1)=1+1=2.
Como \det(A)=2\neq0, a matriz é invertível, e uma matriz invertível representa uma transformação com núcleo trivial. Isso confirma o resultado obtido resolvendo o sistema.]

Passo 6

Resumo final do raciocínio: a equação T(x,y,z)=(0,0,0) leva ao sistema linear que só admite a solução nula; alternativamente a matriz associada tem determinante diferente de zero, logo é invertível e o núcleo é \{(0,0,0)\}. Fica a dica: em provas, resolver o sistema diretamente é rápido e confiável; calcular o determinante da matriz é um bom cheque extra quando for conveniente.

Resposta

\operatorname{Nuc}(T)=\{(0,0,0)\}

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