Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por
T(x, y, z)=(x+y, y+z, x+z)
Determine \operatorname{Nuc}(T).
Passo 1
O enunciado fornece a transformação linear T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=(x+y,\;y+z,\;x+z).
A pergunta é: determinar \operatorname{Nuc}(T), ou seja, o núcleo de T (o conjunto de vetores em \mathbb{R}^{3} que são enviados para o vetor nulo por T).
Passo 2
Vamos recordar a definição do núcleo de uma transformação linear de forma bem didática. Dado T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, o núcleo é
Isto é, precisamos encontrar todas as tuplas (x,y,z) tais que T(x,y,z)=(0,0,0). Vou chamar de forma explícita o vetor genérico por (x,y,z), onde \;x,y,z\in\mathbb{R}.
Passo 3
Escrevendo a condição T(x,y,z)=(0,0,0) componente a componente, obtemos o sistema de equações
Vou resolver esse sistema passo a passo, sem pular etapas.]
Passo 4
Da primeira equação \;x+y=0\; segue diretamente que
x=-y.
Da segunda equação \;y+z=0\; segue que
z=-y.
Agora substituo x=-y e z=-y na terceira equação x+z=0. Fazendo a substituição obtenho
(-y)+(-y)=0.
Ou seja,
-2y=0.
Dividindo ambos os lados por -2 (operação válida porque -2\neq0) encontramos
y=0.
Então, voltando às expressões x=-y e z=-y, obtemos
x=0,\qquad z=0.
Portanto a única solução do sistema é (x,y,z)=(0,0,0).
Passo 5
Interpretação e consequência: como a única solução da condição T(x,y,z)=(0,0,0) é o vetor nulo, o núcleo consiste apenas do vetor nulo. Em palavras: a transformação não tem vetores não nulos que vão para zero; isto significa que T é injetora.
Para reforçar (cheque alternativo): escrevendo T na base padrão, a matriz associada é
Como \det(A)=2\neq0, a matriz é invertível, e uma matriz invertível representa uma transformação com núcleo trivial. Isso confirma o resultado obtido resolvendo o sistema.]
Passo 6
Resumo final do raciocínio: a equação T(x,y,z)=(0,0,0) leva ao sistema linear que só admite a solução nula; alternativamente a matriz associada tem determinante diferente de zero, logo é invertível e o núcleo é \{(0,0,0)\}. Fica a dica: em provas, resolver o sistema diretamente é rápido e confiável; calcular o determinante da matriz é um bom cheque extra quando for conveniente.