Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com matriz na base canônica
A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 0 & 3 \end{array}\right)
Considere a base \mathcal{B}=\{(1,0),(1,1)\}.
a) Determine a matriz de mudança de base P.
b) Determine a matriz de T na base \mathcal{B}.
c) Verifique a relação [T]_{B}=P^{-1} A P.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz na base canônica é
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
A base considerada é \mathcal{B}=\{(1,0),(1,1)\}. O que o enunciado pede:
  • (a) determinar a matriz de mudança de base P (da base \mathcal{B} para a base canônica);
  • (b) determinar a matriz de T na base \mathcal{B}, isto é [T]_{\mathcal{B}};
  • (c) verificar a relação [T]_{\mathcal{B}}=P^{-1} A P.
Informações relevantes dadas:
  • As coordenadas dos vetores da base \mathcal{B} em relação à base canônica são (1,0) e (1,1).
  • A matriz A representa T na base canônica.]

Passo 2

O que é a matriz de mudança de base P aqui e como montá-la (passo-a-passo didático):
  • A matriz P que leva coordenadas na base \mathcal{B} para coordenadas na base canônica tem como colunas as coordenadas dos vetores de \mathcal{B} expressos na base canônica.
  • Os vetores de \mathcal{B} são (1,0) e (1,1). Escrevendo-os como colunas, obtemos
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Comentário intuitivo: multiplicar P por o vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} (coordenadas em \mathcal{B}) constrói x(1,0)+y(1,1), que é o mesmo vetor em coordenadas canônicas.]

Passo 3

Vamos calcular P^{-1} porque precisaremos dele para a verificação e para transformar matrizes entre bases. Método fácil para esta 2\times2:
  • Para P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} a determinante é
\det(P)=1\cdot 1-0\cdot 1=1.
  • Como P é triangular superior com diagonal 1, sua inversa também é triangular superior. Podemos calcular diretamente resolvendo P X=I ou usar a fórmula para inversa de 2\times2. Fazendo a conta rápida, obtemos
P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Verificação rápida (multiplicação): \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular A P passo a passo (multiplicação de matrizes):
  • Primeiro coluna: A(1,0) = (1,0).
  • Segunda coluna: A(1,1) = (1+2,\,0+3)=(3,3).
    Logo
A P = \begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Mostrei coluna a coluna porque a multiplicação A\cdot P produz exatamente as imagens A aplicadas às colunas de P.]

Passo 5

Agora calculo P^{-1}(A P) para obter P^{-1}AP:
P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Multiplicando coluna a coluna:
  • Primeira coluna: \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Segunda coluna: \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\[4pt]3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-3\\[4pt]3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]3\end{pmatrix}.
    Portanto
P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Método alternativo (conceito e cálculo direto da matriz de T na base \mathcal{B}) — é bom ver que dá o mesmo resultado:
  • Aplicar T aos vetores da base \mathcal{B} e escrever as imagens em coordenadas de \mathcal{B}.
  • T(1,0)=A(1,0)=(1,0). Em coordenadas de \mathcal{B} isso é 1\cdot(1,0)+0\cdot(1,1), então a primeira coluna de [T]_{\mathcal{B}} é \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • T(1,1)=A(1,1)=(3,3). Procuramos a,b tais que a(1,0)+b(1,1)=(3,3). Isso dá o sistema a+b=3 e b=3, logo b=3 e a=0. Portanto a segunda coluna de [T]_{\mathcal{B}} é \begin{pmatrix}0\\[4pt]3\end{pmatrix}.
    Assim
[T]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix},
que coincide com o resultado obtido em P^{-1} A P.]

Passo 7

Conclusão da verificação da relação pedida:
  • Calculamos P, P^{-1}, A P e P^{-1} A P explicitamente e também obtivemos [T]_{\mathcal{B}} aplicando T aos vetores da base \mathcal{B}.
  • Os dois métodos dão a mesma matriz
[T]_{\mathcal{B}}=P^{-1} A P=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix},
portanto a relação está verificada.]

Resposta

(a) P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}
(b) [T]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}
(c) P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} e P^{-1} A P=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}, logo [T]_{\mathcal{B}}=P^{-1} A P.]

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