Considere a base \mathcal{B}=\{(1,0),(1,1)\}.
a) Determine a matriz de mudança de base P.
b) Determine a matriz de T na base \mathcal{B}.
c) Verifique a relação [T]_{B}=P^{-1} A P.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz na base canônica é
A base considerada é \mathcal{B}=\{(1,0),(1,1)\}. O que o enunciado pede:
(a) determinar a matriz de mudança de base P (da base \mathcal{B} para a base canônica);
(b) determinar a matriz de T na base \mathcal{B}, isto é [T]_{\mathcal{B}};
(c) verificar a relação [T]_{\mathcal{B}}=P^{-1} A P.
Informações relevantes dadas:
As coordenadas dos vetores da base \mathcal{B} em relação à base canônica são (1,0) e (1,1).
A matriz A representa T na base canônica.]
Passo 2
O que é a matriz de mudança de base P aqui e como montá-la (passo-a-passo didático):
A matriz P que leva coordenadas na base \mathcal{B} para coordenadas na base canônica tem como colunas as coordenadas dos vetores de \mathcal{B} expressos na base canônica.
Os vetores de \mathcal{B} são (1,0) e (1,1). Escrevendo-os como colunas, obtemos
Comentário intuitivo: multiplicar P por o vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} (coordenadas em \mathcal{B}) constrói x(1,0)+y(1,1), que é o mesmo vetor em coordenadas canônicas.]
Passo 3
Vamos calcular P^{-1} porque precisaremos dele para a verificação e para transformar matrizes entre bases. Método fácil para esta 2\times2:
Para P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} a determinante é
\det(P)=1\cdot 1-0\cdot 1=1.
Como P é triangular superior com diagonal 1, sua inversa também é triangular superior. Podemos calcular diretamente resolvendo P X=I ou usar a fórmula para inversa de 2\times2. Fazendo a conta rápida, obtemos
Método alternativo (conceito e cálculo direto da matriz de T na base \mathcal{B}) — é bom ver que dá o mesmo resultado:
Aplicar T aos vetores da base \mathcal{B} e escrever as imagens em coordenadas de \mathcal{B}.
T(1,0)=A(1,0)=(1,0). Em coordenadas de \mathcal{B} isso é 1\cdot(1,0)+0\cdot(1,1), então a primeira coluna de [T]_{\mathcal{B}} é \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
T(1,1)=A(1,1)=(3,3). Procuramos a,b tais que a(1,0)+b(1,1)=(3,3). Isso dá o sistema a+b=3 e b=3, logo b=3 e a=0. Portanto a segunda coluna de [T]_{\mathcal{B}} é \begin{pmatrix}0\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Assim