Questão 2 (1,0 ponto)
Seja
definido por
a) Mostre que
é um subespaço vetorial.
b) Determine uma base e a dimensão de
.
b) Determine uma base e a dimensão de
Passo 1
O enunciado nos dá o subconjunto
definido por
As perguntas são:
(a) Mostrar que é um subespaço vetorial de
.
(b) Determinar uma base de e a dimensão de
.
(a) Mostrar que
(b) Determinar uma base de
Vou trabalhar passo a passo e explicar cada conceito usado.
Passo 2
Lembrete rápido: para provar que um conjunto
é subespaço vetorial de
convém mostrar três propriedades equivalentes e simples:
-
contém o vetor zero. -
é fechado sob soma: se e então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Vou verificar essas três propriedades para
.
Passo 3
Verificar que o vetor zero pertence a
.
O vetor zero em
é
. Substituindo na equação que define
temos
Como a igualdade é verdadeira,
. Assim a primeira propriedade está satisfeita.
Passo 4
Verificar fechamento por soma.
Sejam
e
. Por definição de
sabemos que
Considere
. Então
Portanto
satisfaz a equação e assim
. Logo
é fechado sob soma.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Seja
com
e seja
. Considere
. Então
Portanto
. Logo
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 6
Conclusão sobre subespaço.
Como
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
. Isso resolve a parte (a).
Agora vamos para a parte (b): encontrar uma base e a dimensão de
.
Passo 7
Obter uma descrição paramétrica de
.
A equação que define
é
Vou resolver essa equação em função de variáveis livres. Escolho
como parâmetros livres e escrevo
em função deles:
Assim um vetor arbitrário de
pode ser escrito como
Agora reescrevo essa expressão como combinação linear dos parâmetros:
Passo 8
Conclusão de que os três vetores geram
.
Da expressão paramétrica vemos que qualquer vetor de
é combinação linear dos vetores
Portanto
; isto é, esses três vetores geram
.
Passo 9
Verificar independência linear dos geradores (para garantir que são uma base).
Definição: vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação com todos os coeficientes iguais a zero.
Considere
tais que
Escrevendo coordenada a coordenada:
primeira coordenada:
primeira coordenada:
segunda coordenada:
com
a primeira equação fica
.
terceira coordenada:
terceira coordenada:
com
obtemos
na equação
, portanto
.
Assim é a única solução, logo
são linearmente independentes.
Assim
Passo 10
Conclusão sobre base e dimensão.
Como
geram
e são linearmente independentes, eles formam uma base de
. O número de vetores da base é
, logo
Observação adicional (curiosidade que ajuda em provas):
é o núcleo da forma linear
dada por
. Como
é não nula e
tem dimensão
, pelo teorema da dimensão (rank-nullity) o núcleo tem dimensão
, confirmando o resultado acima.
Resposta
(a)
é um subespaço vetorial de
.\newline
(b) Uma base é e
.
(b) Uma base é