Questão 2 (1,0 ponto)

Seja W \subset \mathbb{R}^{4} definido por
W=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4}: x_{1}+x_{2}-x_{3}+2 x_{4}=0\right\}
a) Mostre que W é um subespaço vetorial.
b) Determine uma base e a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado nos dá o subconjunto W\subset\mathbb{R}^{4} definido por
W=\left\{\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in\mathbb{R}^{4} : x_{1}+x_{2}-x_{3}+2x_{4}=0\right\}.
As perguntas são:
(a) Mostrar que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}.
(b) Determinar uma base de W e a dimensão de W.
Vou trabalhar passo a passo e explicar cada conceito usado.

Passo 2

Lembrete rápido: para provar que um conjunto W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^4 convém mostrar três propriedades equivalentes e simples:
  1. W contém o vetor zero.
  2. W é fechado sob soma: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W.
Vou verificar essas três propriedades para W.

Passo 3

Verificar que o vetor zero pertence a W.
O vetor zero em \mathbb{R}^{4} é (0,0,0,0). Substituindo na equação que define W temos
0+0-0+2\cdot 0 = 0.
Como a igualdade é verdadeira, (0,0,0,0)\in W. Assim a primeira propriedade está satisfeita.

Passo 4

Verificar fechamento por soma.
Sejam u=(u_1,u_2,u_3,u_4)\in W e v=(v_1,v_2,v_3,v_4)\in W. Por definição de W sabemos que
u_1+u_2-u_3+2u_4=0 \qquad\text{e}\qquad v_1+v_2-v_3+2v_4=0.
Considere u+v=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3,\;u_4+v_4). Então
(u_1+v_1)+(u_2+v_2)-(u_3+v_3)+2(u_4+v_4)
= (u_1+u_2-u_3+2u_4) + (v_1+v_2-v_3+2v_4) = 0 + 0 = 0.
Portanto u+v satisfaz a equação e assim u+v\in W. Logo W é fechado sob soma.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Seja u=(u_1,u_2,u_3,u_4)\in W com u_1+u_2-u_3+2u_4=0 e seja \lambda\in\mathbb{R}. Considere \lambda u=(\lambda u_1,\lambda u_2,\lambda u_3,\lambda u_4). Então
\lambda u_1+\lambda u_2-\lambda u_3+2\lambda u_4 = \lambda\bigl(u_1+u_2-u_3+2u_4\bigr) = \lambda\cdot 0 = 0.
Portanto \lambda u\in W. Logo W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 6

Conclusão sobre subespaço.
Como W contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}. Isso resolve a parte (a).
Agora vamos para a parte (b): encontrar uma base e a dimensão de W.

Passo 7

Obter uma descrição paramétrica de W.
A equação que define W é
x_{1}+x_{2}-x_{3}+2x_{4}=0.
Vou resolver essa equação em função de variáveis livres. Escolho x_2,x_3,x_4 como parâmetros livres e escrevo x_1 em função deles:
x_{1} = -x_{2}+x_{3}-2x_{4}.
Assim um vetor arbitrário de W pode ser escrito como
\bigl(x_1,x_2,x_3,x_4\bigr) = \bigl(-x_{2}+x_{3}-2x_{4},\;x_{2},\;x_{3},\;x_{4}\bigr).
Agora reescrevo essa expressão como combinação linear dos parâmetros:
\bigl(x_1,x_2,x_3,x_4\bigr) = x_{2}\,(-1,1,0,0) + x_{3}\,(1,0,1,0) + x_{4}\,(-2,0,0,1).

Passo 8

Conclusão de que os três vetores geram W.
Da expressão paramétrica vemos que qualquer vetor de W é combinação linear dos vetores
v_{1}=(-1,1,0,0),\qquad v_{2}=(1,0,1,0),\qquad v_{3}=(-2,0,0,1).
Portanto \operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=W; isto é, esses três vetores geram W.

Passo 9

Verificar independência linear dos geradores (para garantir que são uma base).
Definição: vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação com todos os coeficientes iguais a zero.
Considere a,b,c\in\mathbb{R} tais que
a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3} = (0,0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada:
primeira coordenada:
- a + b - 2c = 0;
segunda coordenada:
a + 0\cdot b + 0\cdot c = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 0;
com a=0 a primeira equação fica b-2c=0.
terceira coordenada:
0\cdot a + b + 0\cdot c = 0 \quad\Rightarrow\quad b = 0;
com b=0 obtemos -2c = 0 na equação b-2c=0, portanto c=0.
Assim a=b=c=0 é a única solução, logo v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes.

Passo 10

Conclusão sobre base e dimensão.
Como v_{1},v_{2},v_{3} geram W e são linearmente independentes, eles formam uma base de W. O número de vetores da base é 3, logo
\dim W = 3.
Observação adicional (curiosidade que ajuda em provas): W é o núcleo da forma linear f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R} dada por f(x)=x_1+x_2-x_3+2x_4. Como f é não nula e \mathbb{R}^4 tem dimensão 4, pelo teorema da dimensão (rank-nullity) o núcleo tem dimensão 4-1=3, confirmando o resultado acima.

Resposta

(a) W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}.\newline
(b) Uma base é \{(-1,1,0,0),\;(1,0,1,0),\;(-2,0,0,1)\} e \dim W=3.

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