Considere a transformação linear
T: \mathcal{P}{2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{P}{2}(\mathbb{R}) dada por T(p(x))=x p^{\prime}(x). Encontre a imagem e o posto de T.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) definida por
T(p(x)) = x\,p'(x).
Pede-se:
  • Encontrar a imagem (ou espaço-imagem) de T.
  • Determinar o posto (rank) de T.
Informações relevantes fornecidas:
  • O domínio e o contradomínio são \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), o espaço dos polinômios com grau menor ou igual a 2.
  • Um polinômio genérico em \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) pode ser escrito como p(x)=a+bx+cx^{2}, com a,b,c\in\mathbb{R}.
  • A operação usada é derivação p' seguida de multiplicação por x.

Passo 2

Vamos calcular T(p) para um polinômio genérico p(x)=a+bx+cx^{2}.
A derivada é
p'(x)=b+2cx.
Multiplicando por x obtemos
T(p)(x)=x\,p'(x)=x(b+2cx)=b x + 2c x^{2}.
Aqui explico cada símbolo:
  • a,b,c são os coeficientes do polinômio original p.
  • p'(x) é a derivada de p em relação a x.
  • T(p)(x) é o polinômio resultado em \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
Observação imediata: o termo constante (coeficiente de x^{0}) de T(p) é sempre 0. Ou seja, T(p) nunca produz um termo constante diferente de zero.

Passo 3

A observação do passo anterior sugere que a imagem de T está contida no subespaço dos polinômios de grau ≤2 com coeficiente constante zero. Escrevemos esse subespaço como
\{ \alpha x + \beta x^{2} \mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{x,x^{2}\}.
Agora mostro que qualquer polinômio dessa forma é realmente atingido por T. Seja um polinômio arbitrário
q(x)=\alpha x + \beta x^{2}.
Queremos encontrar p(x)=a+bx+cx^{2} tal que T(p)=q. Pelo cálculo do passo 2, temos T(p)=b x + 2c x^{2}. Igualando coeficientes obtemos o sistema
b=\alpha,\qquad 2c=\beta.
Podemos escolher b=\alpha e c=\beta/2. O coeficiente a pode ser qualquer número real (pois desaparece em T(p)). Logo existe pré-imagem para qualquer q do tipo \alpha x+\beta x^{2}. Portanto
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{x,x^{2}\}.

Passo 4

Vamos verificar que \{x,x^{2}\} é um conjunto linearmente independente, para poder afirmar a dimensão do espaço imagem.
Se existirem \lambda,\mu\in\mathbb{R} tais que
\lambda x + \mu x^{2}=0\quad\text{(polinômio nulo)}ô
então os coeficientes de x e x^{2} devem ser zero, portanto \lambda=0 e \mu=0. Assim \{x,x^{2}\} é linearmente independente. Logo
\dim(\operatorname{Im}(T))=2.

Passo 5

Duas maneiras rápidas de concluir o posto (rank) de T:
  1. Pelo passo anterior, \dim(\operatorname{Im}(T))=2. O posto é a dimensão da imagem, então posto =2.
  2. Alternativamente, usar o teorema do posto-nulidade (rank–nullity). O núcleo (kernel) de T é o conjunto de polinômios p tais que x p'(x)=0 para todo x. Isso força p'(x)=0 para todo x (pois identidade de polinômios) e portanto p é constante. Assim \ker(T)=\{ \text{polinômios constantes}\}ô, que tem dimensão 1. Como \dim(\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}))=3, o teorema do posto-nulidade dá
\operatorname{rank}(T)+\dim(\ker T)=3 \quad\Rightarrow\quad \operatorname{rank}(T)=3-1=2.
Ambas as abordagens concordam: posto =2.

Passo 6

Resumo didático rápido para a prova (como aplicar a ideia em problemas parecidos):
  • Para transformações em espaços de polinômios, escreva um polinômio genérico com coeficientes a,b,c,\dots.
  • Aplique a definição (aqui derivar e multiplicar por x) e compare coeficientes para identificar quais termos são possíveis na imagem.
  • Verifique geração (todos esses polinômios são atingidos) e independência linear dos geradores para achar a dimensão da imagem.
  • Como checagem extra, use posto-nulidade: encontre o núcleo e calcule dimensões.

Resposta

\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{x,x^{2}\}=\{ \alpha x + \beta x^{2} \mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}
posto (T)=2

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