Considere a transformação linear
T: \mathcal{P}{2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{P}{2}(\mathbb{R}) dada por T(p(x))=x p^{\prime}(x). Encontre a imagem e o posto de T.
T: \mathcal{P}{2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{P}{2}(\mathbb{R}) dada por T(p(x))=x p^{\prime}(x). Encontre a imagem e o posto de T.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
Pede-se:
- Encontrar a imagem (ou espaço-imagem) de
. - Determinar o posto (rank) de
.
Informações relevantes fornecidas:
- O domínio e o contradomínio são
, o espaço dos polinômios com grau menor ou igual a . - Um polinômio genérico em
pode ser escrito como , com . - A operação usada é derivação
seguida de multiplicação por .
Passo 2
Vamos calcular
para um polinômio genérico
.
A derivada é
Multiplicando por
obtemos
Aqui explico cada símbolo:
-
são os coeficientes do polinômio original . -
é a derivada de em relação a . -
é o polinômio resultado em .
Observação imediata: o termo constante (coeficiente de
) de
é sempre
. Ou seja,
nunca produz um termo constante diferente de zero.
Passo 3
A observação do passo anterior sugere que a imagem de
está contida no subespaço dos polinômios de grau ≤2 com coeficiente constante zero. Escrevemos esse subespaço como
Agora mostro que qualquer polinômio dessa forma é realmente atingido por
. Seja um polinômio arbitrário
Queremos encontrar
tal que
. Pelo cálculo do passo 2, temos
. Igualando coeficientes obtemos o sistema
Podemos escolher
e
. O coeficiente
pode ser qualquer número real (pois desaparece em
). Logo existe pré-imagem para qualquer
do tipo
. Portanto
Passo 4
Vamos verificar que
é um conjunto linearmente independente, para poder afirmar a dimensão do espaço imagem.
Se existirem
tais que
então os coeficientes de
e
devem ser zero, portanto
e
. Assim
é linearmente independente. Logo
Passo 5
Duas maneiras rápidas de concluir o posto (rank) de
:
-
Pelo passo anterior,
. O posto é a dimensão da imagem, então posto . -
Alternativamente, usar o teorema do posto-nulidade (rank–nullity). O núcleo (kernel) de
é o conjunto de polinômios tais que para todo . Isso força para todo (pois identidade de polinômios) e portanto é constante. Assim , que tem dimensão . Como , o teorema do posto-nulidade dá
Ambas as abordagens concordam: posto
.
Passo 6
Resumo didático rápido para a prova (como aplicar a ideia em problemas parecidos):
- Para transformações em espaços de polinômios, escreva um polinômio genérico com coeficientes
. - Aplique a definição (aqui derivar e multiplicar por
) e compare coeficientes para identificar quais termos são possíveis na imagem. - Verifique geração (todos esses polinômios são atingidos) e independência linear dos geradores para achar a dimensão da imagem.
- Como checagem extra, use posto-nulidade: encontre o núcleo e calcule dimensões.
Resposta
posto