Diga, justificando convenientemente a sua resposta, quais das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
é um operador linear dada por
, então
.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
definido por
A pergunta é: a afirmação “
” é verdadeira ou falsa?
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Domínio e contradomínio:
. - Regra de
explícita: a imagem de é . -
é linear (já garantido no enunciado).
Passo 2
Vamos lembrar (de forma didática) o que é
e
.
A imagem é o conjunto de todos os vetores em
que aparecem como
para algum
.
A dimensão de (também chamada de posto ou rank de
) é o número mínimo de vetores necessários para gerar
, isto é, o tamanho de uma base de
.
Um jeito prático de calcular isso é aplicar às três bases canônicas de
e ver quantos vetores independentes aparecem (as colunas da matriz linear):
A imagem
A dimensão de
Um jeito prático de calcular isso é aplicar
Passo 3
Calculemos
nas bases canônicas
,
,
:
Portanto a imagem de
está contida no subespaço gerado por esses três vetores:
Passo 4
Agora simplificamos o gerador: observe que
. Logo esses dois primeiros vetores são linearmente dependentes e usamos apenas um deles. Assim
onde
e
.
Passo 5
Precisamos mostrar se
e
são linearmente independentes. Façamos isso direto: suponha que existam escalares
tais que
isto é,
Escrevendo coordenada a coordenada:
- primeira coordenada:
, - segunda coordenada:
, - terceira coordenada:
(coerente com a primeira).
Da primeira e segunda coordenadas obtemos
e
. Logo só a combinação trivial produz o vetor nulo, isto é,
e
são linearmente independentes.
Passo 6
Como
é um conjunto gerador de
e seus vetores são independentes, esse conjunto é uma base de
. Logo
(Comentário prático: outra maneira equivalente seria montar a matriz de
nas bases canônicas e calcular seu posto; chegaríamos ao mesmo resultado.)
Resposta
Verdadeira.