Diga, justificando convenientemente a sua resposta, quais das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} é um operador linear dada por T(x, y, z)=(z, x-y,-z), então \operatorname{dimIm}(T)=2.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definido por
T(x,y,z)=(z,\;x-y,\;-z).
A pergunta é: a afirmação “ \dim\operatorname{Im}(T)=2” é verdadeira ou falsa?
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio e contradomínio: \mathbb{R}^{3}.
  • Regra de T explícita: a imagem de (x,y,z) é (z,\;x-y,\;-z).
  • T é linear (já garantido no enunciado).

Passo 2

Vamos lembrar (de forma didática) o que é \operatorname{Im}(T) e \dim\operatorname{Im}(T).
A imagem \operatorname{Im}(T) é o conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^{3} que aparecem como T(v) para algum v\in\mathbb{R}^{3}.
A dimensão de \operatorname{Im}(T) (também chamada de posto ou rank de T) é o número mínimo de vetores necessários para gerar \operatorname{Im}(T), isto é, o tamanho de uma base de \operatorname{Im}(T).
Um jeito prático de calcular isso é aplicar T às três bases canônicas de \mathbb{R}^{3} e ver quantos vetores independentes aparecem (as colunas da matriz linear):

Passo 3

Calculemos T nas bases canônicas e_{1}=(1,0,0), e_{2}=(0,1,0), e_{3}=(0,0,1):
T(e_{1})=T(1,0,0)=(0,\;1,\;0),
T(e_{2})=T(0,1,0)=(0,\;-1,\;0),
T(e_{3})=T(0,0,1)=(1,\;0,\;-1).
Portanto a imagem de T está contida no subespaço gerado por esses três vetores:
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(0,1,0),\;(0,-1,0),\;(1,0,-1)\}.

Passo 4

Agora simplificamos o gerador: observe que (0,-1,0)=-1\cdot(0,1,0). Logo esses dois primeiros vetores são linearmente dependentes e usamos apenas um deles. Assim
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{v_{1},v_{3}\},
onde v_{1}=(0,1,0) e v_{3}=(1,0,-1).

Passo 5

Precisamos mostrar se v_{1} e v_{3} são linearmente independentes. Façamos isso direto: suponha que existam escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
a v_{1} + b v_{3} = 0,
isto é,
a(0,1,0) + b(1,0,-1) = (0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada:
  • primeira coordenada: 0\cdot a + 1\cdot b = b = 0,
  • segunda coordenada: 1\cdot a + 0\cdot b = a = 0,
  • terceira coordenada: 0\cdot a + (-1)\cdot b = -b = 0 (coerente com a primeira).
Da primeira e segunda coordenadas obtemos b=0 e a=0. Logo só a combinação trivial produz o vetor nulo, isto é, v_{1} e v_{3} são linearmente independentes.

Passo 6

Como \{v_{1},v_{3}\} é um conjunto gerador de \operatorname{Im}(T) e seus vetores são independentes, esse conjunto é uma base de \operatorname{Im}(T). Logo
\dim\operatorname{Im}(T)=2.
(Comentário prático: outra maneira equivalente seria montar a matriz de T nas bases canônicas e calcular seu posto; chegaríamos ao mesmo resultado.)

Resposta

Verdadeira.

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