Determine uma base e a dimensão do espaço solução de cada um dos seguintes sistemas lineares homogêneos: \left\{\begin{array}{c}x-y=0 \\\\ 2 x-3 y=0 \\\\ 3 x+\frac{1}{2} y=0\end{array} \quad(b)\left\{\begin{array}{c}x-y-z-t=0 \\\\ 3 x-y+2 z-4 t=0 \\\\ 2 y+5 z+t=0\end{array}\right.\right.
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma base e a dimensão do espaço solução de cada um dos dois sistemas lineares homogêneos dados.
Sistema 1 (vou chamar de (a)):
\begin{cases} x - y = 0,\\[4pt] 2x - 3y = 0,\\[4pt] 3x + \tfrac{1}{2}y = 0. \end{cases}
Sistema 2 (o que o enunciado marcou como (b)):
\begin{cases} x - y - z - t = 0,\\[4pt] 3x - y + 2z - 4t = 0,\\[4pt] 2y + 5z + t = 0. \end{cases}
Informações relevantes que temos:
Ambos são sistemas homogêneos (lado direito igual a zero), portanto sempre têm a solução trivial (0,0,\dots,0).
Queremos o espaço de soluções (o conjunto de todas as soluções) e, em particular, uma base desse espaço e sua dimensão.
Para isso vamos resolver cada sistema por eliminação (redução de Gauss) e parametrizar as soluções.]
Passo 2
Breve lembrança didática (para eu te explicar o que vou usar e por quê):
Um sistema linear homogêneo de n variáveis tem espaço solução que é um subespaço de \mathbb{R}^n. A dimensão desse subespaço é o número de variáveis livres (ou, equivalentemente, n- (número de pivôs) ).
Vou usar eliminação de Gauss: transformar o sistema em forma triangular (ou reduzida) para identificar pivôs e variáveis livres, e então expressar as variáveis em função de parâmetros.
Cada parâmetro livre gera um vetor da base do espaço solução; se não houver parâmetro livre (todas variáveis são pivôs), a única solução é a trivial e a dimensão é 0.
Passo 3
Resolver o Sistema 1 passo a passo.
As equações são
\begin{cases} x - y = 0,\\[4pt] 2x - 3y = 0,\\[4pt] 3x + \tfrac{1}{2}y = 0. \end{cases}
Da primeira equação temos diretamente
x = y.
Substituo x=y na segunda equação:
2x-3y=2y-3y=-y=0 \quad\Rightarrow\quad y=0.
Com y=0 vem x=0 pela primeira equação. Verifico rapidamente a terceira equação com x=0,y=0:
3x+\tfrac{1}{2}y=0+0=0,
logo a terceira equação não contradiz nada — ela é satisfeita pela mesma solução. Conclusão da redução: as duas variáveis x e y ficam fixas como x=0 e y=0; não há variável livre.]
Passo 4
Interpretação do resultado do Sistema 1 (ensino rápido do conceito):
Como não apareceu nenhuma variável livre, o espaço solução contém apenas o vetor nulo (0,0).
O único subespaço que contém somente o vetor nulo tem dimensão 0 e sua base é o conjunto vazio (a base não pode conter o vetor zero).
Então, para (a) a solução é trivial; guardo essa conclusão para a resposta final.
Passo 5
Agora Resolver o Sistema 2 passo a passo.
Escrevo o sistema:
\begin{cases} x - y - z - t = 0,\\[4pt] 3x - y + 2z - 4t = 0,\\[4pt] 2y + 5z + t = 0. \end{cases}
Vou usar eliminação de Gauss. Considero as linhas como vetores de coeficientes (x,y,z,t).
Linha 1: L_1=[1,\,-1,\,-1,\,-1].
Linha 2: L_2=[3,\,-1,\,2,\,-4].
Linha 3: L_3=[0,\,2,\,5,\,1].
Elimino a componente x de L_2 usando L_1:
L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1.
Calculo componente a componente:
primeira componente: 3-3\cdot1=0,
segunda: -1-3(-1)=-1+3=2,
terceira: 2-3(-1)=2+3=5,
quarta: -4-3(-1)=-4+3=-1.
Então L_2 vira [0,\,2,\,5,\,-1]. Mantemos L_3=[0,\,2,\,5,\,1].
Agora posso eliminar usando L_2 e L_3: subtraio L_2 de L_3 para zerar as duas primeiras colunas de L_3:
L_3 \leftarrow L_3 - L_2.
Isso dá L_3=[0,\,0,\,0,\,2] (porque 1-(-1)=2 na última componente).
A matriz transformada (linhas) é agora, em forma explícita:
Para ficar com coeficientes inteiros e um vetor mais agradável como base, podemos reescrever tomando novo parâmetro \mu=\tfrac{\lambda}{2}, obtendo
(x,y,z,t)=\mu(-3,\,-5,\,2,\,0).
Ou seja, todas as soluções são múltiplos do vetor (-3,-5,2,0). Portanto existe exatamente um parâmetro livre.]
Passo 6
Interpretação do resultado do Sistema 2 (ensino rápido):
Há uma variável livre (z), logo a dimensão do espaço solução é 1.
Um vetor que gera todo o espaço solução (um gerador) é (-3,-5,2,0). Como o espaço solução é de dimensão 1, esse único vetor não-nulo forma uma base do espaço solução.
Resposta
Sistema 1 (a): Base: \varnothing. Dimensão: 0.
Sistema 2 (b): Base: \{(-3,-5,2,0)\}. Dimensão: 1.