Determine as coordenadas do polinômio t^{3} em relação à base \left\{1,2-t, t^{2}+1,1+t+t^{3}\right\} de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas do polinômio \,t^{3}\, em relação à base \,\{1,\,2-t,\,t^{2}+1,\,1+t+t^{3}\}\, de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
Informações relevantes dadas:
\text{vetores (base)}:\quad b_{1}=1,\quad b_{2}=2-t,\quad b_{3}=t^{2}+1,\quad b_{4}=1+t+t^{3}.
\text{vetor a ser representado}:\quad v(t)=t^{3}.
O que precisamos encontrar: os números reais \alpha,\beta,\gamma,\delta tais que a combinação linear
\alpha b_{1}+\beta b_{2}+\gamma b_{3}+\delta b_{4}=t^{3}.

Passo 2

Vamos escrever a representação pedida como combinação linear com incógnitas. Ou seja, procuramos \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R} tais que
\alpha\cdot 1+\beta\cdot(2-t)+\gamma\cdot(t^{2}+1)+\delta\cdot(1+t+t^{3})=t^{3}.
Explico: cada coeficiente ( \alpha,\beta,\gamma,\delta) multiplica um vetor da base; somando dá o polinômio que queremos representar.

Passo 3

Agora vamos expandir o lado esquerdo e agrupar os termos por potências de t. Desenvolvendo cada termo:
\alpha = \alpha,
\beta(2-t)=2\beta-\beta t,
\gamma(t^{2}+1)=\gamma t^{2}+\gamma,
\delta(1+t+t^{3})=\delta+\delta t+\delta t^{3}.
Somando tudo, obtemos
\alpha+\;2\beta+\;\gamma+\;\delta\quad\text{(termo constante)}
(-\beta+\delta)\,t\quad\text{(coeficiente de }t\text{)}
\gamma\,t^{2}\quad\text{(coeficiente de }t^{2}\text{)}
\delta\,t^{3}\quad\text{(coeficiente de }t^{3}\text{)}.
Ou de forma compacta:
\alpha+2\beta+\gamma+\delta \;+\; (-\beta+\delta)\,t \;+\; \gamma\,t^{2} \;+\; \delta\,t^{3}.

Passo 4

Agora usamos uma propriedade fundamental: dois polinômios são iguais se, e somente se, os coeficientes de cada potência de t forem iguais. O polinômio do lado direito é t^{3}, cujo vetor de coeficientes (constante, t, t^{2}, t^{3}) é (0,0,0,1). Igualando coeficientes, obtemos o sistema linear:
\begin{cases} \alpha+2\beta+\gamma+\delta=0 &\text{(coeficiente constante)}\\[4pt] -\beta+\delta=0 &\text{(coeficiente de }t\text{)}\\[4pt] \gamma=0 &\text{(coeficiente de }t^{2}\text{)}\\[4pt] \delta=1 &\text{(coeficiente de }t^{3}\text{).} \end{cases}]

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo, com calma:
Da terceira equação temos diretamente
\gamma=0.
Da quarta equação:
\delta=1.
Da segunda equação -\beta+\delta=0 e substituindo \delta=1 vem
-\beta+1=0 \quad\Rightarrow\quad \beta=1.
Finalmente, substituímos \beta=1, \gamma=0, \delta=1 na primeira equação \alpha+2\beta+\gamma+\delta=0:
\alpha+2\cdot 1+0+1=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha+3=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha=-3.

Passo 6

Concluímos que os coeficientes que procurávamos são
\alpha=-3,\qquad \beta=1,\qquad \gamma=0,\qquad \delta=1.
Fazendo uma checagem rápida: substituir esses valores na combinação dá
-3\cdot 1 + 1\cdot(2-t) + 0\cdot(t^{2}+1) + 1\cdot(1+t+t^{3})
= -3 + 2 - t + 0 + 1 + t + t^{3} = (-3+2+1) + (-t+t) + t^{3} = 0 + 0 + t^{3} = t^{3},
ou seja, bate certinho — ótimo!

Resposta

(-3,\,1,\,0,\,1)

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