Determine as coordenadas do polinômio t^{3} em relação à base \left\{1,2-t, t^{2}+1,1+t+t^{3}\right\} de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado pede: determinar as coordenadas do polinômio \,t^{3}\, em relação à base \,\{1,\,2-t,\,t^{2}+1,\,1+t+t^{3}\}\, de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
Agora usamos uma propriedade fundamental: dois polinômios são iguais se, e somente se, os coeficientes de cada potência de t forem iguais. O polinômio do lado direito é t^{3}, cujo vetor de coeficientes (constante, t, t^{2}, t^{3}) é (0,0,0,1). Igualando coeficientes, obtemos o sistema linear:
\begin{cases} \alpha+2\beta+\gamma+\delta=0 &\text{(coeficiente constante)}\\[4pt] -\beta+\delta=0 &\text{(coeficiente de }t\text{)}\\[4pt] \gamma=0 &\text{(coeficiente de }t^{2}\text{)}\\[4pt] \delta=1 &\text{(coeficiente de }t^{3}\text{).} \end{cases}]
Passo 5
Vamos resolver o sistema passo a passo, com calma:
Da terceira equação temos diretamente
\gamma=0.
Da quarta equação:
\delta=1.
Da segunda equação -\beta+\delta=0 e substituindo \delta=1 vem
-\beta+1=0 \quad\Rightarrow\quad \beta=1.
Finalmente, substituímos \beta=1, \gamma=0, \delta=1 na primeira equação \alpha+2\beta+\gamma+\delta=0: