Considere a transformação linear T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x+y, x+z, z+y). Calcule a representação matricial de T na base beta=(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede a matriz de TcolonR^3toR^3 na base beta=b1,b2,b3, onde
b1=(1,0,0), b2=(1,1,0), b3=(1,1,1)
e
T(x,y,z)=(x+y,;x+z,;y+z)
Para achar [T]beta, calculamos T(bj) e expressamos cada imagem como combinação linear de b1,b2,b3.

Passo 2

Calculando
T(b1)=T(1,0,0)=(1+0,;1+0,;0+0)=(1,1,0)
Como b2=(1,1,0), temos
T(b1)=0cdot b1+1cdot b2+0cdot b3,
logo o primeiro vetor-coluna de [T]beta é 010.

Passo 3

Calculando
Procuramos
Isso dá o sistema
cuja solução é .

Passo 4

Calculando
T(b3)=T(1,1,1)=(1+1,;1+1,;1+1)=(2,2,2)
Procuramos alphai tais que
alpha1+alpha2+alpha3=2, alpha2+alpha3=2, alpha3=2,
cuja solução é alpha1=0,alpha2=0,alpha3=2. Logo
T(b3)=0cdot b1+0cdot b2+2cdot b3
e o terceiro vetor-coluna é 002.

Passo 5

Juntando as colunas obtidas, a matriz de T em relação à base beta é
[T]beta = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2

Resposta

[T]beta = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2

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