Seja definida por . Determine a matriz de T nas bases de e de .)

Passo 1

O enunciado pede a matriz de uma transformação linear
;TcolonR^3toR^2 definida por
T(x,y,z)=(x+y,;2z)
nas bases
beta1=(1,1,0),(1,0,1),(0,0,-1) de R^3 e
beta2=(1,0),(1,1) de R^2.
Para isso precisamos:
  1. Calcular T em cada vetor de beta1.
  2. Expressar esses resultados como combinações lineares de beta2.
  3. Colocar os coeficientes dessas combinações como colunas da matriz procurada.

Passo 2

Calculemos T em cada vetor de beta1:
Para v1=(1,1,0) temos
T(v1)=T(1,1,0)=(1+1,;2cdot0)=(2,0)
Para v2=(1,0,1) temos
T(v2)=T(1,0,1)=(1+0,;2cdot1)=(1,2)
Para v3=(0,0,-1) temos
T(v3)=T(0,0,-1)=(0+0,;2cdot(-1))=(0,-2)

Passo 3

Agora expressamos cada imagem T(vi) na base beta2=w1=(1,0),,w2=(1,1).
Seja (a,b) as coordenadas de um vetor u em beta2, então
u = a,w1 + b,w2 = (a+b,;b)
Para T(v1)=(2,0) igualamos (a+b,b)=(2,0), logo b=0 e a=2.
Para T(v2)=(1,2) igualamos (a+b,b)=(1,2), logo b=2 e a=1-2=-1.
Para T(v3)=(0,-2) igualamos (a+b,b)=(0,-2), logo b=-2 e a=0-(-2)=2.

Passo 4

As coordenadas de T(v1),T(v2),T(v3) em beta2 são, respectivamente,
(2,0),(-1,2),(2,-2)
Montamos a matriz de T em beta1,beta2 colocando esses vetores como colunas:
[T]beta2,beta1 = 2 & -1 & 2 0 & 2 & -2

Resposta

[T]beta2,beta1 = 2 & -1 & 2 0 & 2 & -2

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