Considere a transformação linear T: R^4 R^2 dada por T(x, y, z, w)=(x+z, y+w).
(b) (4,-2,-4,2) in Nuc(T) ?

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Tcolon R^4 to R^2, T(x,y,z,w) = (,x+z,;y+w,)
e pergunta se o vetor ,(4,-2,-4,2) pertence ao núcleo de T. Vamos usar a definição de núcleo:
Nuc(T) = ,vinR^4 : T(v) = (0,0)

Passo 2

Pela definição, um vetor (x,y,z,w) está em Nuc(T) exatamente quando
T(x,y,z,w) = (x+z,;y+w) = (0,0)
Isto gera o sistema de equações
x + z = 0, y + w = 0

Passo 3

Agora aplicamos T ao vetor em questão:
T(4,-2,-4,2) = (,4 + (-4),; -2 + 2,) = (0,0)

Passo 4

Como T(4,-2,-4,2) = (0,0), o vetor satisfaz as duas equações do núcleo. Logo (4,-2,-4,2) pertence a Nuc(T).

Resposta

Sim, (4,-2,-4,2)in Nuc(T).

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