Encontre a distância entre o ponto A(1,3) e a reta y=2 x-1.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre o ponto A(1,3) e a reta y = 2x - 1. Isso faz parte da geometria analítica de distância ponto–reta, e para resolver vamos usar a fórmula clássica que envolve a forma geral da reta.

Passo 2

Precisamos reescrever a reta na forma
ax + by + c = 0
Partindo de y = 2x - 1, subtraímos y e somamos 1 em ambos os lados para obter
2x - y - 1 = 0,
logo a = 2, b = -1 e c = -1.

Passo 3

A fórmula da distância de um ponto (x0,y0) à reta ax+by+c=0 é
d = l|a x0 + b y0 + cr|raiza^2 + b^2
Esse resultado vem da projeção ortogonal do ponto sobre a reta.

Passo 4

Substituindo x0 = 1, y0 = 3, a = 2, b = -1 e c = -1, temos
l|2cdot1 + (-1)cdot3 + (-1)r| = |2 - 3 - 1| = 2
e
raiz2^2 + (-1)^2 = raiz5,
portanto
d = 2raiz5

Passo 5

Para racionalizar o denominador, multiplicamos numerador e denominador por raiz5:
2raiz5 times raiz5raiz5 = 2raiz55

Resposta

A distância entre o ponto A(1,3) e a reta y = 2x - 1 é
2raiz55

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