Considere a transformação linear T: R^4 R^2 dada por T(x, y, z, w)=(x+z, y+w).
(c) (1,2) in Im(T) ?

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
Tcolon R^4 to R^2, T(x,y,z,w) = (x+z,;y+w)
e pergunta se o vetor (1,2) pertence à imagem de T.
Conteúdo: caracterização da imagem (ou alcance) de uma transformação linear e resolução de um sistema linear.

Passo 2

Para (1,2) estar em Im(T) é preciso existir (x,y,z,w)inR^4 tal que
T(x,y,z,w) = (1,2)
Isso equivale ao sistema
x + z = 1, y + w = 2

Passo 3

Cada uma dessas equações tem infinitas soluções porque, por exemplo, podemos escolher livremente z e w e então determinar x e y. Portanto sempre existe solução para qualquer par (u,v)inR^2, o que já sugere que Im(T)=R^2.

Passo 4

Mostrando um caso concreto, tome z=0 e w=0. Então das equações vem
x = 1, y = 2
Logo
T(1,2,0,0) = (1+0,;2+0) = (1,2)

Resposta

Sim. (1,2)in Im(T), pois por exemplo T(1,2,0,0)=(1,2).

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