Questão 6: Encontre o cos θ, onde θ é o ângulo entre:
u=(1,3,-5,4) e v=(2,-4,3,4) em relação ao produto interno usual de R^4 .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar costheta, onde theta é o ângulo entre os vetores
u=(1,3,-5,4)e v=(2,-4,3,4)
no espaço R^4 com o produto interno usual. Para isso vamos usar as definições:
– produto interno lang<= u,vrang<= como soma dos produtos das componentes;
– norma |u|=raizlang<= u,urang<=;
– e então
costheta = lang<= u,vrang<=|u|,|v|

Passo 2

Calculamos o produto interno
lang<= u,vrang<= = 1cdot2 + 3cdot(-4) + (-5)cdot3 + 4cdot4 = 2 -12 -15 +16 = -9

Passo 3

Agora as normas:
|u| = raiz1^2 + 3^2 + (-5)^2 + 4^2 = raiz1 + 9 + 25 + 16 = raiz51,
|v| = raiz2^2 + (-4)^2 + 3^2 + 4^2 = raiz4 + 16 + 9 + 16 = raiz45 = 3raiz5

Passo 4

Substituindo em costheta = dfraclang<= u,vrang<=|u||v|, obtemos
costheta = -9raiz51,raiz45 = -9raiz2295 = -3raiz255

Resposta

costheta = -3raiz255

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