Considere a transformação linear T: R^3 R^3 dada por
T(x, y, z)=(x-y-2 z,-x+2 y+z, x-3 z)
Determine: dim(Im(T)), dim(N(T))
Resposta:
(A) 0,3
(B) 2,1
(C) 3,0
(D) 1,2
(E) outro valor.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:R^3toR^3 definida por
T(x,y,z) = (,x - y - 2z,;-x + 2y + z,;x - 3z,)
O objetivo é achar dim(ImT) e dim(ker T). Vamos representar T por sua matriz em relação à base canônica e usar eliminação gaussiana e o Teorema do posto-nulidade.

Passo 2

Escrevemos a matriz A de T cujas colunas são as imagens de (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1):
A = 1 & -1 & -2 -1 & 2 & 1 1 & 0 & -3
A dimensão da imagem é o posto (número de linhas não nulas após redução).

Passo 3

Aplicamos operações de linha para triangularizar A:
1 & -1 & -2 -1 & 2 & 1 1 & 0 & -3 ;xrightarrowL2>=ts L2+L1,;L3>=ts L3-L1; 1 & -1 & -2 0 & 1 & -1 0 & 1 & -1 ;xrightarrowL3>=ts L3-L2; 1 & -1 & -2 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0
Há exatamente 2 linhas não nulas, logo rank(A)=2.

Passo 4

Pelo Teorema do posto-nulidade em R^3:
dim(ker T) = 3 - rank(A) = 3 - 2 = 1

Resposta

(B)

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