A função P: R^2 R dada por P(x, y)=x-pi^2 y é linear.
(A) Sim.
(B) Não faz sentido.
(C) Impossível responder.
(D) Não.
(E) N.D.A.

Passo 1

O enunciado apresenta a aplicação P: R^2 to R dada por
P(x,y) = x - pi^2 y
e pergunta se ela é linear. O conteúdo aqui é a definição de aplicação linear entre espaços vetoriais reais, que exige verificar duas propriedades: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Vamos checar as duas propriedades para vetores (x1,y1), (x2,y2)inR^2 e escalar lambdainR:
  1. Aditividade:
Pl((x1,y1)+(x2,y2)r) = P(x1+x2,;y1+y2) = (x1+x2);-;pi^2(y1+y2)
= l(x1-pi^2y1r)+l(x2-pi^2y2r) = P(x1,y1)+P(x2,y2)
  1. Homogeneidade:
Pl(lambda,(x,y)r) = P(lambda x,;lambda y) = lambda x ;-;pi^2(lambda y) = lambdal(x-pi^2yr) = lambda,P(x,y)

Passo 3

Como P satisfaz simultaneamente
P(u+v)=P(u)+P(v) e P(lambda u)=lambda,P(u),
pela definição de aplicação linear concluímos que P é linear.

Resposta

(A) Sim.

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