Nos problemas 23 e 24, determinar uma equação geral do plano que contenha o ponto e a reta dados:
A(4, 3, 2) e r:lx=t y=2-t z=3+2 t

Passo 1

O enunciado pede uma equação geral do plano que contenha o ponto
O conteúdo é geometria no espaço: para determinar um plano precisamos de um ponto e de um vetor normal. Vamos usar o fato de que o plano contém a reta , e obter o vetor normal como produto vetorial.

Passo 2

Extraímos da reta r um ponto P0 e o vetor diretor v. Tomando t=0 em r, um ponto é
P0 = (0,,2,,3),
e o vetor diretor é
v = (1,,-1,,2)

Passo 3

Como o plano deve conter P0 e A, o vetor P0A também está no plano. Calculamos
P0A = A - P0 = (4-0,;3-2,;2-3) = (4,,1,,-1)
O vetor normal n ao plano é dado por
n = P0Atimesv = i & j & k [0.3em] 4 & 1 & -1 [0.3em] 1 & -1 & 2 = (1,,-9,,-5) ]

Passo 4

Com o vetor normal n=(1,-9,-5) e o ponto A(4,3,2), a equação do plano é
1,(x-4)-9,(y-3)-5,(z-2)=0

Passo 5

Bast a simplificar:
x-4-9y+27-5z+10=0 ;Longrightarrow; x-9y-5z+33=0

Resposta

A equação geral do plano é
x - 9y - 5z + 33 = 0

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