Considere a transformação linear
definida por
Determine o núcleo de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o núcleo da transformação linear $ T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $ definida por $ T(x, y, z) = (x - y, z - y) $. O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que, ao serem transformados, dão o vetor zero. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre transformações lineares e como encontrar o núcleo delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou kernel, de $ T $ é o conjunto de todos os vetores $ (x, y, z) $ em $ \mathbb{R}^{3} $ que satisfazem $ T(x, y, z) = (0, 0) $. Ou seja, queremos encontrar todos os $ x, y, z $ tais que:
Passo 3
Agora, vamos resolver o sistema de equações que resulta da igualdade acima:
- $ x - y = 0 $
- $ z - y = 0 $
A primeira equação nos diz que $ x = y $, e a segunda que $ z = y $. Isso significa que os três componentes $ x, y, z $ são iguais entre si.
Passo 4
Com base nisso, podemos expressar $ x $, $ y $ e $ z $ em termos de uma única variável. Vamos chamar essa variável de $ y $ (já que $ x = y $ e $ z = y $). Assim, qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como:
Aqui, $ y $ pode ser qualquer número real, então o núcleo é formado por todos os múltiplos do vetor $ (1, 1, 1) $.
Resposta
O núcleo de $ T $ é o conjunto de todos os vetores da forma $ (y, y, y) $, onde $ y $ é um número real. Em notação matemática: