Uma esfera não condutora de raio
possui uma densidade volumétrica de carga dada pela equação
, onde
é uma constante positiva e
a distância de um ponto qualquer dentro da esfera até o centro. Calcule, em função de R,
e
, quanta energia está armazenada no campo elétrico no interior da esfera.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos uma esfera não condutora de raio $ R $ com uma densidade volumétrica de carga dada por $ \rho = \frac{A}{r} $, onde $ A $ é uma constante positiva e $ r $ é a distância de um ponto dentro da esfera até o centro. Nosso objetivo é calcular a quantidade de energia armazenada no campo elétrico no interior da esfera em função de $ R $, $ A $ e $ \varepsilon_{0} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico e, em seguida, calcular a energia armazenada usando a fórmula da energia do campo elétrico.
Passo 2
Encontrando o campo elétrico $ E® $ usando a Lei de Gauss:
A Lei de Gauss nos diz que:
Onde:
- $ \vec{E} $ é o campo elétrico.
- $ d\vec{A} $ é um elemento de área da superfície Gaussiana.
- $ Q_{enc} $ é a carga total dentro da superfície Gaussiana.
- $ \varepsilon_{0} $ é a permissividade do vácuo.
Vamos escolher uma superfície Gaussiana esférica de raio $ r $ dentro da esfera ($ r \leq R $).
Primeiro, calculamos a carga total $ Q_{enc} $ dentro dessa superfície:
Substituindo $ \rho = \frac{A}{r’} $:
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss para encontrar $ E® $:
Substituímos $ Q_{enc} $ na Lei de Gauss:
Resolvendo para $ E® $:
Conclusão: O campo elétrico dentro da esfera é constante e igual a $ \frac{A}{2\varepsilon_{0}} $.
Passo 4
Calculando a energia armazenada no campo elétrico:
A densidade de energia elétrica $ u $ é dada por:
Como o campo elétrico é constante dentro da esfera, a energia total $ W $ é a densidade de energia multiplicada pelo volume da esfera:
Passo 5
Simplificando a expressão para encontrar $ W $:
Simplificando os termos:
Resposta
A quantidade de energia armazenada no campo elétrico no interior da esfera é: