Uma esfera não condutora de raio R possui uma densidade volumétrica de carga dada pela equação rho=Ar, onde A é uma constante positiva e r a distância de um ponto qualquer dentro da esfera até o centro. Calcule, em função de R, A e varepsilon0, quanta energia está armazenada no campo elétrico no interior da esfera.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos uma esfera não condutora de raio $ R $ com uma densidade volumétrica de carga dada por $ \rho = \frac{A}{r} $, onde $ A $ é uma constante positiva e $ r $ é a distância de um ponto dentro da esfera até o centro. Nosso objetivo é calcular a quantidade de energia armazenada no campo elétrico no interior da esfera em função de $ R $, $ A $ e $ \varepsilon_{0} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico e, em seguida, calcular a energia armazenada usando a fórmula da energia do campo elétrico.

Passo 2

Encontrando o campo elétrico $ E® $ usando a Lei de Gauss:
A Lei de Gauss nos diz que:
E(r)
Onde:
  • $ \vec{E} $ é o campo elétrico.
  • $ d\vec{A} $ é um elemento de área da superfície Gaussiana.
  • $ Q_{enc} $ é a carga total dentro da superfície Gaussiana.
  • $ \varepsilon_{0} $ é a permissividade do vácuo.
Vamos escolher uma superfície Gaussiana esférica de raio $ r $ dentro da esfera ($ r \leq R $).
Primeiro, calculamos a carga total $ Q_{enc} $ dentro dessa superfície:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Substituindo $ \rho = \frac{A}{r’} $:
E

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss para encontrar $ E® $:
Substituímos $ Q_{enc} $ na Lei de Gauss:
E(r)
Resolvendo para $ E® $:
Qenc
Conclusão: O campo elétrico dentro da esfera é constante e igual a $ \frac{A}{2\varepsilon_{0}} $.

Passo 4

Calculando a energia armazenada no campo elétrico:
A densidade de energia elétrica $ u $ é dada por:
u
Como o campo elétrico é constante dentro da esfera, a energia total $ W $ é a densidade de energia multiplicada pelo volume da esfera:
u = 12 varepsilon0 E^2

Passo 5

Simplificando a expressão para encontrar $ W $:
W
Simplificando os termos:
W = 12 varepsilon0 cdot A^24varepsilon0^2 cdot 43 pi R^3

Resposta

A quantidade de energia armazenada no campo elétrico no interior da esfera é:
W = A^2 pi R^36, varepsilon0

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