Considere a transformação linear T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(2 x-y-z, x-z,-x+y+2 z)
Para cada autovalor da matriz A, determine os autovetores, o auto-espaço e uma base, e a multiplicidade geométrica.

Passo 1

O enunciado pede que, dada a transformação linear
T(x,y,z)=(2x - y - z,;x - z,;-x + y + 2z),
encontremos todos os autovalores lambda da matriz A associada a T, e para cada lambda determinemos
  1. o conjunto de autovetores (solução de (A-lambda I)v=0),
  2. o autoespaço (subespaço de todos esses vetores),
  3. uma base desse autoespaço,
  4. a multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço).
O conteúdo usado será cálculo de autovalores via polinômio característico e solução de sistemas lineares para autovetores.

Passo 2

Escrevendo a matriz A de T na base canônica de R^3, obtemos
A = 2 & -1 & -1 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 2

Passo 3

Calculamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0.
A-lambda I = 2-lambda & -1 & -1 1 & -lambda & -1 -1 & 1 & 2-lambda
Expandindo o determinante, encontra-se
det(A-lambda I) =(2-lambda)(lambda-1)^2 = 0
Logo os autovalores são
lambda1 = 2(mu<iplicidade algébrica 1), lambda2 = 1(mu<iplicidade algébrica 2) éé

Passo 4

Autovalor
O sistema equivale a
Da terceira equação . Logo . Tomando , tem-se
O autoespaço é
com base e multiplicidade geométrica .

Passo 5

Autovalor lambda2=1: resolver (A-I)v=0.
A-I = 1 & -1 & -1 1 & -1 & -1 -1 & 1 & 1
Todas as linhas geram a mesma equação x - y - z=0. Logo
x = y + z
Em parâmetros y=s, z=t, obtemos
v = (s+t,,s,,t) = s(1,1,0) + t(1,0,1)
O autoespaço ker(A-I) é
,s(1,1,0)+t(1,0,1)mid s,tinR,
com base usual (1,1,0),(1,0,1) e multiplicidade geométrica 2.

Resposta

Para lambda=2:
Autovetores ,t(-1,-1,1), autoespaço span(-1,-1,1), base (-1,-1,1), multiplicidade geométrica 1.
Para lambda=1:
Autovetores ,s(1,1,0)+t(1,0,1), autoespaço span(1,1,0),(1,0,1), base (1,1,0),(1,0,1), multiplicidade geométrica 2.

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