Considere a transformação linear
Para cada autovalor da matriz
, determine os autovetores, o auto-espaço e uma base, e a multiplicidade geométrica.
Para cada autovalor da matriz
Passo 1
O enunciado pede que, dada a transformação linear
encontremos todos os autovalores
da matriz
associada a
, e para cada
determinemos
- o conjunto de autovetores (solução de
), - o autoespaço (subespaço de todos esses vetores),
- uma base desse autoespaço,
- a multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço).
O conteúdo usado será cálculo de autovalores via polinômio característico e solução de sistemas lineares para autovetores.
Passo 2
Escrevendo a matriz
de
na base canônica de
, obtemos
Passo 3
Calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I)=0 .
Expandindo o determinante, encontra-se
Logo os autovalores são
Passo 4
Autovalor
O sistema equivale a
Da terceira equação . Logo
. Tomando
, tem-se
O autoespaço
é
com base
e multiplicidade geométrica
.
Passo 5
Autovalor
lambda2=1 : resolver
(A-I)v=0 .
Todas as linhas geram a mesma equação
x - y - z=0 . Logo
Em parâmetros
y=s ,
z=t , obtemos
O autoespaço
ker(A-I) é
com base usual
(1,1,0),(1,0,1) e multiplicidade geométrica
2 .
Resposta
Para
lambda=2 :
Autovetores,t(-1,-1,1) , autoespaço
span(-1,-1,1) , base
(-1,-1,1) , multiplicidade geométrica
1 .
Autovetores
Para
lambda=1 :
Autovetores,s(1,1,0)+t(1,0,1) , autoespaço
span(1,1,0),(1,0,1) , base
(1,1,0),(1,0,1) , multiplicidade geométrica
2 .
Autovetores