Considere a transformaçâo linear
.
Esta transformação linear tem autovalor zero? Caso sim, determine o auto-espaço correspondente.
Esta transformação linear tem autovalor zero? Caso sim, determine o auto-espaço correspondente.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
e pede para verificar se zero é autovalor e, em caso afirmativo, determinar o autoespaço associado. Para isso vamos usar que zero é autovalor se e somente se existir vetor não-nulo em
.
Passo 2
Para checar
como autovalor, resolvemos
isto é, buscamos todos
tais que
.
Passo 3
Escrevendo as componentes de
obtemos o sistema
Passo 4
Das duas primeiras equações vem
e
. A terceira fica redundante, pois se
e
então
já está satisfeito. Logo todo vetor no núcleo é da forma
Passo 5
Concluímos que
que é um subespaço não trivial. Portanto
é autovalor e seu autoespaço é justamente esse núcleo.
Resposta
Sim. O autoespaço correspondente a
é