Considere a transformaçâo linear T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x-y, y-z, z-x).
Esta transformação linear tem autovalor zero? Caso sim, determine o auto-espaço correspondente.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(x-y,;y-z,;z-x)
e pede para verificar se zero é autovalor e, em caso afirmativo, determinar o autoespaço associado. Para isso vamos usar que zero é autovalor se e somente se existir vetor não-nulo em ker T.

Passo 2

Para checar lambda=0 como autovalor, resolvemos
T(x,y,z)=(0,0,0),
isto é, buscamos todos (x,y,z) tais que T(x,y,z)=0.

Passo 3

Escrevendo as componentes de T(x,y,z)=(0,0,0) obtemos o sistema
x - y = 0,
y - z = 0,
z - x = 0

Passo 4

Das duas primeiras equações vem x=y e y=z. A terceira fica redundante, pois se x=y e y=z então z-x=0 já está satisfeito. Logo todo vetor no núcleo é da forma
(x,y,z)=(t,t,t), tinR

Passo 5

Concluímos que
que é um subespaço não trivial. Portanto é autovalor e seu autoespaço é justamente esse núcleo.

Resposta

Sim. O autoespaço correspondente a é

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